12. Требования к математической модели.

Адекватность. Важнейшим требованием к математической модели является ее адекватность – т.е. правильное соответствие реальному объекту, относительно выбранной системы его свойств. Под этим подразумевается правильное качественное описание рассмотренных свойств изучаемого реального объекта, например возможность сделать вывод о направлении изменения тех или иных характеристик объекта, взаимосвязях между его свойствами, об устойчивости его состояния. Требование адекватности обычно включает в себя и правило описания свойств субъекта с некоторой разумной точностью. В зависимости от того, включаем ли мы в требование адекватности требование количественной адекватности, говорят о количественной либо о качественной модели. В случаях, когда явления очень сложное, количественной модели может вообще не быть и приходится довольствоваться только качественной.

Естественна большая или меньшая адекватность модели. При этом адекватность имеется в виду относительно какого-то набора свойств, который мы хотим изучить в рамках данной модели. Часто неадекватность в отношении определенных свойств может быть не очевидной, поэтому исследование модели должно подкрепляться экспериментами. Порой для изучения различных свойств приходится строить разные модели.

Простота. Усложняя модель, мы можем включить в нее больше факторов => повысить ее адекватность. Но в то же время мы усложняем математическую задачу.

Таким образом, адекватность модели и требование простоты являются противоположными и нужен компромисс. При упрощении модели можно идти по 2 путям:

1. упрощать содержательную модель;

2. упрощать математическую модель.

Как правило, более рационален первый путь.

Полнота. Модель позволяет с помощью математических методов получить интересующий нас результат.

Продуктивность. Дело в том, что любая модель включает в себя некоторые исходные данные, которые обычно есть значения некоторых физических величин. В модель должны входить такие величины, которые можно реально измерить, причем наиболее простым способом.

Устойчивость - малая чувствительность к погрешностям. Измерения всегда имеют погрешность, и если модель неустойчива, т.е. малое изменение исходных данных приводит к большому изменению результата, то таких неустойчивых изменений надо избегать.

Наглядность - ясность физического смысла параметров модели. Такую модель легче исследовать.

13. Типы математических моделей.

1. Структурные и функциональные модели.

Структурная модель – отображается структура исследуемого объекта. Существенна для исследования свойств и взаимосвязи компонентов этого объекта.

Функциональная модель («черный ящик») – модель описывает реакцию объекта на воздействие внешних факторов (т.е. то, как объект функционирует), но не затрагивает и не описывает его структуру.

2. Дискретные и непрерывные модели.

Дискретные модели – принимают оторванные друг от друга значения, которые можно пронумеровать.

Непрерывная модель – принимает все значения на некотором интервале.

Какая-то величина может на одних интервалах вести себя как дискретная, на других – как непрерывная. При этом между этими типами моделей нет какого-либо принципиального барьера и при уточнении и видоизменении дискретная модель может переходить в непрерывную и наоборот. При составлении модели нужно учитывать эту возможность перехода.

3. Линейные и нелинейные модели.

Линейная зависимость одной величины от другой – это зависимость вида y=a*x+b. Это означает пропорциональность приращений, т.е. Δy = α*Δx. На самом деле все существующие на практике линейные зависимости являются линейными лишь приближенно, т.е. в каком-то интервале величины этих зависимостей являются линейными с некоторой степенью точности.

Аналогично определяется понятие линейной модели. Оно применяется для модели объектов, кот. рассм. как преобразователь, т.е. в кот. некоторому входу соответствует выход. Такой преобразователь называется оператором.

Пусть нулевому входу соответствует нулевой выход. Тогда модель называется линейной если выполняется принцип суперпозиции. При сложении входов складываются и выходы, а при умножении входа на число выход умножается на то же число. В противном случае модель нелинейная.

На практике часто применяется линеаризация (приближенная замена нелинейных моделей линейными). Она применима в двух случаях:

1. Если опыт показывает, что отклонение от линейности в каких-то диапазонах невелико.

2. Если имеется малый диапазон, то можно исп. линейное интерполирование.

4. Детерминированные и вероятностные модели.

Если модель включает в себя какие-либо случайные величины, то она называется статистической или стохастической. В противном случае она называется детерминированной.

5. Статические и динамические модели.

В случае динамической модели мы имеем дело с изучением движения объекта, т.е. его изменение во времени. При изучении динамических моделей обычно используются дифференциальные уравнения.