билеты по математике

3.Исследование функции с помощью производной.

1. Исследуйте функцию с помощью производной у=х³+3х² и постройте ее график.

2. Исследуйте функцию у=-х⁴/4+2х²+5 и постройте ее график.

3. Исследуйте функцию у=х³/3-5/2х²+6х-1 на экстремум с помощью второй производной.

4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у=х³-9х²+15х-3 на отрезке [0;2].

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=0,5sin3x на отрезке [0; к].

4.Щиложения производной.

1. Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 240 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей.

2. Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение.

Раздел 2. Интегральное исчисление.

1 .Вычисление неопределенных и определенных интегралов.

3 2

1. Вычислите неопределенный интеграл J (х + 3х +5)dx

ж 2

2. Вычислите определенный интеграл jlcosxdx.

о

3. Вычислите определенный интеграл J—.

Ж

4. Вычислите определенный интеграл J -

2

0 cos х

13

5. Вычислите неопределенный интеграл j (7 + 5х) dx.

ж

3

6. Вычислите определенный интеграл {- cos3x<ix.

ж

ж _х

1. Вычислите определенный интеграл J 2 sin — dx.

ж ³

2

о ^ _f51nx ₇

8. Вычислите неопределенный интеграл J ах.

х

ж

2 з

9. Вычислите определенный интеграл J cos x-sinxdx.

0

2.Вычисление площадей криволинейных трапеций.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=5sinx, у=0, х= я/2, х= я.

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у=-х +4х и у=0. Рисунок.

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х³+2, у=0, х=0, х=2. Рисунок.

4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=cos2x, у=0, х=-я/6, х=я/3.

3 .Применения интеграла.

1. Тело движется прямолинейно со скоростью v=14t-4t² (м/с). Найдите путь, пройденный телом за первые 2 секунды.

2. Сила упругости пружины, растянутой на 5 см, равна ЗН. Какую работу нужно произвести, чтобы растянуть пружину на 5 см?

3. Вычислите работу, совершенную при сжатии пружины на 0,05 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила 8 Н.

4. Составьте уравнение кривой, проходящей через точку (-1; 2), если угловой коэффициент касательной в любой точке касания равен 5х-7.

5. При торможении шкив начал вращаться с угловой скоростью w=l-0,04t, где w - в рад/с, t - с. На какой угол повернется шкив за первые Зс. после начала торможения?

Раздел 3. Геометрия.

1 .Простпаннстренные тела.

1. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45" Найдите боковое ребро.

2. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если ее высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 3 см и 4 см. Диагональ параллелепипеда АС, образует с плоскостью основания ABCD угол 45*. Найдите площадь диагонального сечения АА,С,С.

4. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 4 см. Найдите высоту пирамиды SO,

если боковое ребро пирамиды равно -\/33^ см.

5. Основанием пирамиды SABC является треугольник ABC, у которого АВ=АС=13 см , ВС=10 см.; ребро AS перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площади всех боковых граней пирамиды.

6. Крыша башни имеет вид правильной четырехугольной пирамиды, сторона ее основания 3 м, высота 2м. Сколько железа потребуется для покрытия этой крыши, если на перекрытие листов уйдет 20% площади поверхности крыши?

7. Сколько кожи потребуется для изготовления покрышки мяча диаметром 20 см, несли на обрезки и швы идет 5% материала?

8. При рытье колодца, основание которого имеет форму квадрата со стороной 1,8 м, было вынуто 40 т. земли. Найдите глубину колодца, если плотность вынутой земли 1,6 г/см³. Рисунок.

9. Внешний диаметр полого чугунного шара 70см, внутренний - 30см. Найдите массу шара, если плотность чугуна 7300 кг/м³.

10. Из заготовок, имеющих форму правильной четырехугольной призмы размером а х а х 1, прокатывают круглую сталь (цилиндрической формы) диаметром d. Определите длину готового проката диаметром с!=3см, если известны размеры заготовки а=12см, 1=3,14м.

11. Бак с прямоугольным основанием 4 х 2 м вмещает 16000 л. воды. Сколько оцинкованного железа пошло на изготовление этого бака с крышкой, если отходы составляют 7%.

2.Метод координат в пространстве.

1. Докажите, что векторы а=(3; 2; 4) и Ь=(-1; 3; -1) взаимно перпендикулярны. Постройте эти векторы.

2. Найдите длину отрезка АВ и координаты его середины, если А(5; 8; -3) и В(7;4; -1).

Задачи к экзамену по математике за 2 семестр для студентов 1 курса

Раздел 1. Производная и ее приложения.

1.Вычисление производных.

1. 5.

   Найдите производную функции у=х²-3х при х=2.

2. Найдите производную функции у=(х +3)(х⁴-1) при х

3. Найдите производную функции у=х³1пх при х=1.

4. Найдите производную функции y=xsinx при х= тс/2.

X -Зх

Найдите производную функции у = — при х

1

19. У—

20. у =

21. у =

22. у =

23. у =

+ 4:

COSX

COSX

6. Найдите производную функции у = — при

cm -у- — 1

smx-1

7. Найдите производную функции у=(2-7х)⁵ при х=0.

8. Найдите производную функции y=sin(3x-9).

9. Найдите производные функций

1. у=х"+х

2. у=2х⁴-8х

3. у=3+5х

4. у=-Зх²+2

5. у= 2х+х⁴

6. у=х³+5

7. у = 2х - sin х + In х

r>\ 1 4 1 "5

8. у = -х +-х

9. у = 2х-^А+5

10. y = x⁴+x³+cosx

11. у = 2х^ъ -Ъх + \пЪ

12. у = х⁵ + cosx

13. у = (з-х)(2х-\)

14. у = (Ах² +4)(х³ -Ах)

15. у = 5х(х³ + 2х)

16. у = х(х + 1)

17. у= Inx-cosx

Х=7С.

Зх² +2х-1

2х + 1

Зх² + 2х -1

2х + 1 5х

х +1

2х² -Зх + 1 х +1

24. у- 3cosx - —

X

25. у = е^2х

26. y-sin(— + 3)

27. у= sin(2x+3)

28. у = (х + 1)^А

29. у = (\-х²)⁵

30. у = (х² +2х)'

2.Механический и геометрический смысл производной.

1. Движение точки задано уравнением S(t)=t²-8t+7 (м). В какой момент времени скорость ее равна нулю?

2. Зависимость пути от времени при движении точки задана уравнением S=-l/3t -4t²+l. Найдите максимальную скорость движения этой точки.

* 3 2

3. Зависимость пути от времени при движении точки задана уравнением S=t -6t +2t. Найдите минимальную скорость движения этой точки.

3 2

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону S(t)=5t -3t -(2/5)t+l (м). Найдите ускорение точки в конце второй секунды.

5. Движение точки задано уравнением S=l/3t^J+2t -3 (м). Вычислите ее скорость и ускорение в момент времени t=4c.

4. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой у=х³-5х+7 в точке х=1.

5. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y=cos3x в точке х— %12.

6. Напишите уравнение касательной к графику функции у=2-х-х³ в точке с абсциссой х=0.

Вопросы к экзамену по математике за 2 семестр для студентов 1 курса

1. Понятие производной. Определение.

2. Правила вычисления производных (4). Примеры.

3. Основные формулы дифференцирования. Примеры.

4. Правило дифференцирования сложной функции. Примеры.

5. Физический смысл производной. Примеры решения задач.

6. Геометрический смысл производной. Примеры решения задач.

7. Исследование функции на монотонность с помощью производной (теоремы, правило). Примеры.

8. Экстремум функции. Правило нахождения экстремума. Примеры.

9. Схема исследования и построения графика функции. Пример.

10. Понятие первообразной. Понятие неопределенного интеграла. Примеры.

11. Основные свойства неопределенного интеграла. Примеры.

12. Таблица интегралов элементарных функций. Примеры.

13. Интегрирование методом замены переменной (методом подстановки)

14. Понятие определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Примеры

15. Формула Ньютона-Лейбница и ее применение. Примеры.

16. Понятие криволинейной трапеции. Вычисление площади криволинейной трапеции. Примеры.

17. Понятие многогранника. Основные элементы многогранников. Виды многогранников.

18. Призма и ее элементы. Виды призм.

19. Параллелепипед и его свойства.

20. Пирамида и ее элементы, виды пирамид.

21. Понятие тела вращения. Виды тел вращения.

22. Прямой круговой цилиндр и его элементы.

23. Прямой круговой конус и его элементы.

24. Формулы вычисления площади поверхности цилиндра, конуса.

25. Сфера и шар. Основные понятия и определения.

26. Касательная плоскость к сфере. Формула площади поверхности сферы.

27. Понятие вектора. Коллинеарность, компланарность векторов.

28. Координаты точек вектора. Длина вектора. Скалярное произведение векторов.

29. Действия над векторами. Сложение, вычитание векторов. Умножение вектора на число и их выполнение в координатной форме.

30. Понятие объема геометрического тела. Вычисление объема призмы.

31. Понятие объема геометрического тела. Вычисление объема пирамиды.

32. Понятие объема тела вращения. Вычисление объема цилиндра.

33. Понятие объема тела вращения. Вычисление объема конуса.

34. Понятие объема тела вращения. Вычисление объема шара.