6. Нечеткая логика

Как и классическая логика, нечеткая логика занимается истинностью высказываний. Однако в реальном мире высказывания часто являются частично истинными. Кроме того, мы часто используем термины, которые не четко определены.

Элементарным нечетким высказыванием называется повествовательное предложение, выражающее законченную мысль, относительно которой мы можем судить об ее истинности или ложности только с некоторой степенью уверенности.

Значение истинности высказывания - мера, лежащая на интервале [0;1] того, насколько мы уверены в том, что высказывание истинно, то есть согласуется со своими составляющими. Не только высказывания имеют значения истинности, данные также имеют связанные с ними значения истинности – меру достоверности их значений; правила также имеют связанные с ними значения истинности – меру достоверности самих правил. В общем, значение истинности (чего-либо) есть лежащая на интервале [0;1] мера достоверности (чего-либо).

Структура нечетких высказываний может быть существенно более общей, чем структура четких высказываний. В четких высказываниях данные редко бывают многозначными, и их значения истинности (если данные существуют) всегда равны 1. Четкие сравнения всегда булевы, возвращающие только 0 или 1. В нечетких высказываниях однозначные данные всегда сопровождаются значениями истинности.

Нечеткий предикат P(<x₁, x₂, …, x_k>) или, k-местный нечеткий предикат, формально определяется как некоторое отображение из декартова произведения Х₁, Х₂,..., Х_k в некоторое вполне упорядоченное множество значений истинности, в частности, в интервал [0,1], т. е. Р: Х₁×Х₂×...×Х_k→[0, 1].

Отрицанием A (¬A, "не A") называется унарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого по определению принимает значение:

T(¬A) = 1 – T(A).

Конъюнкцией A и B (A ˄ B, "A и B ") называется бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого по определению принимает значение:

T(A ˄ B) = min{Т(A), Т(B)};

Т(A ˄ B) = Т(A)*Т(B);

Т(A ˄ B) = max{Т(A) + Т(B)-1, 0}.

Дизъюнкцией A и B (A ˅ B, "A или B") называется бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого по определению принимает значение:

T(A ˅ B) = max{Т(A), Т(B)};

T(A ˅ B) = Т(A)+Т(B)-Т(A)*Т(B);

T(A ˅ B) = min{Т(A)+Т(B), 1}.

Импликацией A и B (A ↄ B, "из A следует B") называется бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого по определению принимает значение:

Т(A ↄ B) = max{min{Т(Ã),Т(B)},1-Т(A)};

Т(A ↄ B) = max{Т(¬A),Т(B)}= max{1-Т(A),Т(B)} (классическая нечеткая импликация для случая Т(A)≥Т(B)).

Эквивалентностью A и B (A ≡ B, "A эквивалентно B") называется бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого определяется по следующей формуле:

Т(A ≡ B) = min{max{Т(¬A),Т(B)},max{Т(A),Т(¬B)}}.

7. Системы нечетких продукций.

В простейшем случае нечеткая продукция имеет следующий вид:

ЕСЛИ x это A, ТО y это B, где A и B - значения лингвистических переменных, задаваемые функциями принадлежности. Левая часть продукции называется условием (или предпосылкой), а правая - следствием (или заключением). Продукцию часто в сокращенном виде записывают как A → B.

В более общем случае нечеткая продукция принимает такую форму:

ЕСЛИ x₁ это A₁ И … И x_N это A_N , ТО y это B

Для вычисления значения коэффициента принадлежности сложного конъюнктивного условия продукции используются два способа:

Логическое произведение: И(x) = min{A_i(x_i)}, i=1,2, ... ,N;

Алгебраическое произведение: И(x) = prod_i=1,N(A_i(x_i)).

Приписывание значения коэффициента принадлежности сложному условию продукции будем называть агрегированием условия.

Для вычисления коэффициента принадлежности продукции в целом также используется два способа:

Логическое произведение: A → B (x) = min{A(x), B(y)};

Алгебраическое произведение: A → B (x) = A(x)*B(y).

Такой расчет значения функции принадлежности называется агрегированием на уровне продукции.

Применительно к системам нечетких продукций прямой метод вывода осуществляется через преобразование отдельных фактов предметной области в конкретные значения функций принадлежности правых частей по каждому из правил, либо можно использовать эти правые части в качестве результата вывода, либо в качестве условий для дальнейших рассуждений.

В случае, если уже получен результат, функция принадлежности заключения характеризует результат проведенного нами выбора.

Есть и обратный вывод. Целью вывода методом обратной цепочки является установление истинности условий некоторого правила (т.е. имеем B и вопрос «является ли x – A?»).

Применительно к системам нечетких продукций функция принадлежности неизвестна и должна быть задана. В итоге получаем функция принадлежности условий. Прямой и обратной вывод носят итеративный многошаговый характер. В случае прямого вывода процесс заканчивается либо при отсутствии активных правил, либо при отсутствии функции принадлежности интересующего нас значения.