Литература

1. Трофимова, Т. Н. Курс физики / Т. Н. Трофимова. М.: Высшая школа, 2003.

2. Гершензон, Е. М. Механика / Е. М. Гершензон, Н. Н. Малов, А. Н. Мансуров. М.: Академия, 2001.

3. Савельев, И. В. Курс общей физики. В 3 т. Т. 1. / И. В. Савельев. М.: Высшая школа, 1975.

Лабораторная работа № 3

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний

Цель работы: изучить форму траектории материальной точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях. Определить разность фаз складываемых колебаний из вида траектории результирующего движения.

Оборудование: песочный маятник, секундомер, линейка, лист бумаги, песок.

Теория метода

Простейшим видом колебательных движений является гармоническое колебание. Оно возникает в том случае, если на тело, выведенное из положения равновесия, действует сила, направленная всегда к положению равновесия, а по величине пропорциональная смещению тела от положения равновесия. Таким образом, можно написать

,

где F – сила, под действием которой тело совершает гармоническое колебание; s – смещение тела от положения равновесия; k – некоторый постоянный коэффициент. Это выражение можно написать и в таком виде

,

где m – масса колеблющегося тела; – его ускорение, которое выражено в дифференциальной форме, так как в колебательном движении оно является величиной переменной. Решением этого уравнения является функция синуса (или косинуса)

,

которая описывает гармоническое колебание величины s, где а – амплитуда колебания; ω – круговая (циклическая) частота; φ – начальная фаза колебания в момент времени t = 0; (ωt + φ) – фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как синус изменяется в пределах от +1 до –1, то s может принимать значения от +а до –а. Циклическая частота связана с периодом колебаний соотношением , где Т – период колебаний, т. е. промежуток времени, за который фаза колебаний получает приращение 2π.

При изучении колебательных движений большой интерес представляют вопросы, связанные со сложением колебаний. Ограничимся анализом сложения взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Рассмотрим систему, обладающую двумя степенями свободы, т. е. такую систему, для задания положения которой необходимы две величины. Примером может служить математический маятник (тяжелое тело небольших размеров, подвешенное на длинной невесомой нити), который может совершать колебания одновременно в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Частоты этих колебаний будут одинаковы и будут зависеть только от длины нити l и ускорения свободного падения g. Пусть начальная фаза первого колебания равна нулю, тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

, (3.1)

где а, b – амплитуды колебаний; φ – разность фаз обоих колебаний; ω – частота колебаний.

Выражения (3.1) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой движется точка, участвующая в обоих колебаниях. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (3.1) параметр t. Из первого уравнения следует, что

. (3.2)

Следовательно

. (3.3)

Распишем косинус во втором уравнении системы (3.1) по формуле для косинуса суммы, подставляя при этом вместо cos ωt и sin ωt их значения (3.2) и (3.3). В результате получим

.

Перенося слагаемое влево и возводя в квадрат полученное выражение, получим:

. (3.4)

Как известно из аналитической геометрии, уравнение (3.4) есть уравнение эллипса,оси которого ориентированы относительно координатных осей х и у произвольно. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависит от амплитуд а и b и разности фаз φ. Все эллипсы вписываются в прямоугольник со сторонами 2а и 2b (рис. 3.1) Разность фаз складываемых колебаний можно найти, подставив х = 0 в уравнение (10.4). В этом случае

и .

Исследуем форму траектории в некоторых частных случаях.

1. Разность фаз φ = 0. В этом случае уравнение (3.4) принимает вид , откуда получается уравнение прямой

. (3.5)

Колеблющаяся точка перемещается по этой прямой, причем расстояние ее от начала координат равно .

Подставляя выражения (3.1) для х и у и учитывая, что φ = 0, получим закон, по которому r изменяется со временем:

, (3.6)

где – амплитуда результирующего колебания (рис. 3.2, а).

2. Разность фаз φ = ±π. Тогда из уравнения (3.4) следует, что . (рис. 3.2, б).

3. При уравнение (3.4) переходит в

,

т. е. в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний (рис. 3.2, в). При равенстве амплитуд а и b эллипс вырождается в окружность (рис. 3.2, г).

Случаи и отличаются направлением движения по эллипсу или по окружности. Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. Уравнения колебаний имеют вид

.

На рис. 3.3 изображены фигуры Лиссажу (траектории результирующего колебания при различном соотношении частот и разности фаз между складываемыми колебаниями во взаимно перпендикулярных плоскостях).

«Песочный» маятник, используемый в лабораторной работе, представляет собойматематический маятник. Для такого маятника с достаточной точностью выполняется формула

,

где Т – период колебаний математического маятника; l – его длина; g – ускорение силы тяжести.

Математический маятник совершает гармонические колебания, если угол отклонения нити от положения равновесия не превышает ~8°.

«Песочный маятник» состоит из тяжелого тела М с воронкой для песка, подвешенного на двух нитях (бифилярный подвес) к раме с перекладиной (рис. 3.4, а). С помощью муфты С, передвигаемой вдоль нити, можно реализовать различное соотношение частот между складывающимися колебаниями. При этом одно из колебаний совершается относительно точки Д, а второе – относительно точки С. Колеблющийся маятник совершает движения, которые можно рассматривать как результат сложения колебаний по двум взаимно перпендикулярным направлениям.

Если, насыпав песок в воронку, менять соотношения периодов складываемых колебаний (перемещением муфты), то можно наблюдать различные фигуры Лиссажу – траектории, описываемые маятником.

Примечание.Воронку следует располагать в непосредственной близости от листа бумаги, песок сыпать в воронку нужно перед наблюдением, после проведения всех дополнительных работ.