4. Надежность измерений

Истинное значение измеряемой величины x лежит в интервале x_ср. –  < x < x_ср. +  не точно, а с определенной вероятностью .

Надежность измерений величины x характеризуется доверительной вероятностью  и доверительным интервалом x.

Доверительный интервал x ограничивает такую окрестность x_ср.  х, куда с заданной (доверительной) вероятностью  попадает истинное значение X. Если основная погрешность имеет систематическое происхождение ( << ), то истинное значение x лежит в интервале x = x_ср. ±  со 100% вероятностью, т. к.  – это верхняя граница возможных погрешностей. Получить простую оценку для меньших , в случае систематических по­грешностей не удается.

Для случайных погрешностей задача для нахождения x была решена Стьюдентом. Доверительный интервал при заданной вероятности определяется по формуле (5)

х = К_{ n}, (1.5)

где n – число измерений, а коэффициенты К_{ n} (коэффициенты Стьюдента) берутся из таблиц. При получении формулы (5) предполагалось, что вероятности случайных отсчетов распределены по нормальному закону, для которого плотность вероятности (вероятность попадания в единичный интервал значений случайной величины) дается гауссовой кривой

. (1.6)

Отметим еще раз, что при n   интервалу x =  отвечает надежность 68%. Это означает, что существует весьма заметная (32%) вероятность того, что X лежит вне интервала x_ср –  < x < x_ср + .

Однако уже при x = 2 надежность возрастает до 95%. В случае, если систематическая и случайная ошибки примерно одинаковы, трудно дать строгое определение суммарной ошибки. Выбирая в качестве систематической ошибки приборную, мы знаем только верхнюю границу возможных ошибок. Если к такой систематической ошибке присоединяется случайная, то мы ничего не можем сказать о вероятности появления ошибок различной величины, но можем оценить предельные значения суммарных ошибок. С вероятностью не менее 0,95 мы можем утверждать, что результаты измерений не будут отличаться от истинного значения на величину

x =  + 2.

5. Исключение промахов

Промахи (числа, резко отличающиеся от остальных) следует исключать из рассмотрения. Критерий отбрасывания состоит в том, чтобы исключить из рассмотрения отсчеты, для которых |x_i| > З. Основанием к этому считают то, что при нормальном законе распределения вероятность попадания x_i, за пределы интервала ±3 составляет всего 0,3%. Следует, однако, отметить, что  надо рассчитывать с учетом всех измерений, включая предполагаемые промахи, а затем уже проводить сравнение.

6. Пример обработки результатов прямых измерений

Пусть в результате измерений высоты цилиндра штангенциркулем с погрешностью 0,05 мм были получены значения: 20,2 мм, 20,1 мм, 20,0 мм и 20,2 мм. Записать результат измерения, отвечающий доверительной вероятности  = 95%. Определить качество измерений (относительную погрешность Е).

Вычислим сначала среднее арифметическое по формуле (1), В нашем случае x_ср. = 20,13 мм. Вычислим далее погрешности отдельных измерений x_i = x_i – x_ср., их квадраты (x_i)² и стандартную ошибку по формуле (2). В результате вычислений имеем  = 0,048 мм. Поскольку ни одно из отклонений не может быть отброшено ввиду его ошибочности (x_i < З), мы можем надеяться, что среди x_i нет промахов.

xi, мм	xср., мм	xi = xi – xср., мм	(xi)2	, мм
20,2	20,13	0,07	0,005	0,048
20,1		- 0,03	0,001
20,0		- 0,13	0,017
20,2		0,07	0,005

Стандартная ошибка практически равна приборной погрешности  = 0,05 мм. Поэтому точность метода в равной степени определяется систематическими и случайными погрешностями. Надежности  = 95% отвечает доверительный интервал x_95% =  + 2  0,15 (мм). Таким образом, окончательный результат измерений с надежностью 95% может быть записан следующим образом:

x = x_ср ± x_95% = 20,13 ± 0,15 (мм).

Качество измерений характеризуется относительной погрешностью

.