Задачи к главам “Логика высказываний” и “Логика предикатов”

1. Запишите в виде формулы следующее высказывание: “Если Реформатор победит на выборах, то снизятся цены и у всех возрастет зарплата, и если он не победит на выборах, то или не снизятся цены или не возрастет у всех зарплата”. Определите, является ли оно истинным, когда:

1) Реформатор победил, но цены не снизились, а зарплата возросла;

2) Реформатор победил и цены снизились, но зарплата не возросла;

3) Реформатор не победил, но цены снизились, а зарплата не возросла;

4) Реформатор не победил и цены не снизились, но зарплата возросла;

5) Реформатор победил, но цены не снизились и зарплата не возросла;

6) Реформатор не победил, но цены снизились и зарплата возросла.

2. Запишите в виде формулы следующее высказывание: “На выборах будут популярны партия синих и партия белых или, если не будет популярна партия синих, то будет популярна партия зеленых”. Оцените истинность такого прогноза, если на самом деле:

1) были популярны все три партии;

2) ни одна из этих партий не была популярна;

3) были популярны синие и белые и непопулярны зеленые;

4) были непопулярны синие и зеленые и популярны белые.

3. Запишите в виде формулы следующее высказывание: “Овнам на ближайшее время рекомендуется деловая активность или внимание семейным делам и, кроме того, если не деловая активность, то занятия спортом”. Будет ли поведение соответствовать такому прогнозу, если:

1) деловая активность низкая, уделяют внимание семейным делам и не обращаются к спорту;

2) деловая активность низкая, уделяют внимание семейным делам и обращаются к спорту;

3) деловая активность низкая, не уделяют внимание семейным делам и не обращаются к спорту;

4) деловая активность низкая, не уделяют внимание семейным делам и обращаются к спорту.

4. Запишите в виде формулы следующее высказывание: “Если зарплату выдают вовремя, то значит ожидаются или выборы, или акции протеста населения, и если не ожидаются выборы и одновременно нет акций протеста населения, то зарплату не выдают вовремя”. Оцените истинность этого высказывания, если на самом деле:

1) зарплату выдают вовремя, ожидаются выборы, но не ожидаются акции протеста населения;

2) зарплату выдают вовремя, не ожидаются выборы, зато ожидаются акции протеста населения;

3) зарплату выдают вовремя, ожидаются выборы, ожидаются акции протеста населения;

4) зарплату выдают вовремя, но не ожидаются ни выборы, ни акции протеста населения.

5. Запишите в виде формулы следующее высказывание: “Неверно, что на работу в это учреждение принимают тогда и только тогда, когда пройдешь собеседование и будешь аттестован положительно”. Оцените его истинность, если на самом деле:

1) на работу принимают без собеседования и аттестации;

2) на работу не принимают после собеседования и положительной аттестации;

3) на работу не принимают без собеседования и без положительной аттестации;

4) на работу принимают после собеседования, но без положительной аттестации.

Придумайте сами какие-нибудь сочетания условий и просчитайте данное выражение для них.

6. Запишите в виде формулы следующее высказывание: “Это предприятие уплачивает налоги и оказывает благотворительность тогда и только тогда, когда не вносит платежи”. Оцените его истинность, если на самом деле:

1) предприятие не уплачивает налоги, оказывает благотворительность и не вносит платежи;

2) предприятие не уплачивает налоги, оказывает благотворительность и вносит платежи;

3) предприятие не уплачивает налоги, не оказывает благотворительность и вносит платежи;

4) предприятие уплачивает налоги, оказывает благотворительность и не вносит платежи;

Придумайте сами какие-нибудь сочетания условий и просчитайте данное выражение для них.

Проделайте то же самое для выражения: “Это предприятие уплачивает налоги или оказывает благотворительность тогда и только тогда, когда не вносит платежи”.

7. Запишите в виде формулы следующее соглашение между поставщиком приборов и его контрагентом: “Если или прибор окажется неисправным, или прибор исправен, но не прибудет наладчик, то поставщик уплачивает штраф”. Определите, обязан ли поставщик платить штраф при указанных ниже условиях. Напоминаем, что из-за особенностей импликации (см. ч. 2, парагр. 1.2) для любого набора условий просчитывать надо дважды: а) штраф уплачен, б) штраф не уплачен.

1) Прибор исправен, прибыл наладчик;

2) прибор неисправен, прибыл наладчик;

3) прибор исправен, не прибыл наладчик;

4) прибор неисправен, не прибыл наладчик.

8. Запишите в виде формулы следующее соглашение между поставщиком приборов и его контрагентом: “Издательство уплачивает гонорар тогда и только тогда, когда книга распродается в течение года и отпускная цена не была снижена”. Определите, обязано ли издательство уплатить гонорар при указанных ниже условиях.

1) Книга распродана в течение года, цена была снижена;

2) Книга распродана в течение года, цена не была снижена;

3) Книга не распродана в течение года, цена была снижена;

4) Книга не распродана в течение года, цена не была снижена.

9. Запишите в виде формулы следующие конъюнктивные высказывания и затем составьте эквивалентные им дизъюнктивные и импликативные высказывания:

а) Приют наш мал, зато спокоен.

б) Мал золотник, да дорог.

в) Имею желание, но не имею возможности (из кинокомедии).

г) Не бывает (неверно), чтобы и волки были сыты, и овцы целы.

10. Запишите в виде формулы следующие дизъюнктивные высказывания и затем составьте эквивалентные им конъюнктивные и импликативные высказывания:

а) Завтра ожидается дождь или снег.

б) Допуск к документам дает или директор, или его заместитель.

в) Или мы повесим невиновного человека, или Британская империя полетит в преисподнюю (Честертон).

г) На этой неделе не будет или света, или горячей воды.

11. Запишите в виде формулы следующие импликативные высказывания и затем составьте эквивалентные им конъюнктивные и дизъюнктивные высказывания:

а) Когда Солнце в зените, то подсолнечник обращен на юг.

б) Кому не везет в картах, тому везет в любви.

в) Когда на улице туман, то самолеты не летают.

г) Если гром не не грянет, то мужик не перекрестится.

д) В случае пожара звоните 01.

е) За двумя зайцами погонишься, не поймаешь и одного.

12. Всегда ли равносильны следующие пары выражений? Проверьте равносильность, воспользовавшись формулами для эквивалентных преобразований.

1.1 Кто с мечем к нам придет, тот от меча и погибнет.

1.2 Неверно, что кто-то придет к нам с мечом и не погибнет от меча.

2.1 Если гора не идет к Магомету, то Магомет идет к горе.

2.2 Или гора не идет к Магомету, или Магомет не идет к горе.

3.1 Если он не является прилежным учеником, то он получает низкие оценки.

3.2 Или он является прилежным учеником, или получает низкие оценки.

4.1 В тесноте, да не в обиде.

4.2 Неверно, что или не в тесноте, или не в обиде.

5.1 Не бывает, чтобы что-то являлось властью и не было от бога.

5.2 Если является властью, то от бога.

6.1 Бывают состояния «не мир и не война».

6.2 Неверно, будто если не мир, то война.

7.1 Все преходяще, а музыка вечна.

7.2 Неверно, что если все преходяще, то и музыка не вечна.

8.1 Неправильно на охоту идти и собак кормить

8.2 Или на охоту не идти, или собак не кормить.

13. Проверьте равносильность следующих пар высказываний, записав их с помощью формул:

1.1 Если только судьбу можно хвалить или порицать за наши дела, значит, только она определяет все наши помыслы.

1.2 Неправильно только судьбу хвалить или порицать за наши дела, хотя и не признавать только ее определяющей все наши помыслы.

2.1 Неверно, будто, если состоялся суд, то вынесен оправдательный или обвинительный приговор.

2.2 Состоялся суд, но неверно, будто вынесен оправдательный или обвинительный приговор.

3.1 Если причина наших действий находится не в нас самих и не нами определяется, то и заслуга за результаты этих действий нам не принадлежит.

3.2 Или неверно, будто причина наших действий находится не в нас самих и не нами определяется, или заслуга за результаты этих действий принадлежит нам.

4.1 Неверно утверждение: или Аристотель – основатель логики, или он создал теорию умозаключения и им открыты основные законы логики.

4.2 Аристотель - основатель логики, но неверно, будто он создал теорию умозаключения и им открыты основные законы логики.

5.1 Или отступиться, или коль помирать, то с музыкой.

5.2 Неправильно не отступаться и в то же время не признавать, что коль помирать, то с музыкой.

6.1 Неверно, что или не применяют шампунь, или волосы ломкие и высыпаются.

6.2 Не применяют шампунь и все же неверно, что волосы ломкие и высыпаются.

7.1 Если не будет отключаться свет, то неверно, что мы успеем подготовиться к контрольной по логике и перевести с английского статью.

7.2 Или не будет отключаться свет, или неверно, что мы успеем подготовиться к контрольной по логике и перевести с английского статью.

8.1 Если лето сухое или холодное, то данный сорт пшеницы не даст хороший урожай.

8.2 Или неверно, что лето будет сухое или холодное, или данный сорт пшеницы не даст хороший урожай.

9.1 Если переходишь улицу, то надо оглянуться налево и направо.

9.2 Неправильно переходишь улицу и не признавать, что надо оглянуться налево и направо.

10.1 Неверно, что или предприятие не импортирует сырье, или оно несет убытки и не уплачивает налоги.

10.2 Предприятие импортирует сырье и при этом неверно, будто оно несет убытки и не уплачивает налоги.

11.1 Неверно, что или звание военнослужащего не капитан-лейтенант, или на нем морская форма и четыре маленькие звездочки на погонах.

11.2 Звание военнослужащего не капитан-лейтенант и в то же время неверно, что на нем морская форма и четыре маленькие звездочки на погонах.

12.1 Неверно, будто или нам повезет, или мы не заключим контракт и не избежим разорения.

12.2 Нам не повезет, но неверно, будто мы не заключим контракт и не избежим разорения.

13.1 Если человек не несет ответственности за свои поступки, то тогда он не является или совершеннолетним, или вменяемым.

13.2 Ложно утверждение: человек несет ответственность за свои поступки хотя и неверно, что он не является совершеннолетним или вменяемым.

14.1 Неверно утверждать: или санаторий не получает дотации, или же он выделяет льготные путевки и не отказывает инвалидам в помощи.

14.2 Санаторий получает дотации и неверно, будто он выделяет льготные путевки и не отказывает в помощи инвалидам.

15.1 Если не переехал пешеходную дорожку и загорелся желтый, то надо остановиться.

15.2 Или неверно, что переехал пешеходную дорожку и загорелся желтый, или не надо останавливаться.

14. Проверьте равносильность следующих пар высказываний, различающихся двумя союзами, записав их с помощью формул:

1.1 Неверно, что если не ревнует, то или не любит, или ослеплен.

1.2 Не ревнует, но неверно, что любит и не ослеплен.

2.1 Не могло быть, чтобы преступник проник в помещение и при этом его не заметил или первый охранник, или второй.

2.2 Если преступник проник в помещение, то неверно, что его не заметил как первый охранник, так и второй.

3.2 Неправильно говорить, что он не гитарист и при этом не имеет ни русской, ни гавайской гитары.

3.3 Если он не гитарист, то неправда, что или не имеет русскую, или не имеет гавайскую гитару.

4.1 Красавица, но неверно, что склонна или к измене, или к перемене.

4.2 Неправда, что если красавица, то склонна к измене и к перемене.

15. Осуществите контрапозицию следующих высказываний:

1) Когда приближается утро - выпадает роса.

2) Если повернуть выключатель, то лампочка загорится.

3) Если мы смогли одержать победу в современной войне, то, значит, у нас была промышленность.

16. Комиссар Мегрэ заглянул в запись показаний свидетеля, полицейского и преступника по поводу хулиганского избиения некоего гражданина и с досадой обнаружил, что бравший показания сотрудник не отметил, кому из них принадлежат отдельные заявления. Записано только, что A сказал: “Неверно, будто не били ни B, ни C. B ответил: “Я никого не бил”. А согласно C: “Ни A, ни B не присутствовали”. Но комиссар помнил, что полицейский и свидетель говорили правду, а преступник, наоборот, только лгал. Поэтому, вооружившись карандашом, он быстро установил, кто все-таки бил гражданина и даже умудрился выяснить больше, чем открылось сначала. Как можно узнать, кто участвовал в хулиганских побоях?

Указание. Ответить на вопрос задачи помогут дизъюнктивные нормальные формы. Обозначим через p, q, r утверждения о том, что били соответственно A, B, C. Тогда описание всей ситуации составится из трех альтернатив: бил или A (одновременно его надо признать преступником, его слова - ложными, а показания остальных - истинными), или избивал B (тогда его заявление ложно, слова же остальных - истинны), или избиение - дело рук C (с аналогичными сопутствующими обстоятельствами). Формула получается такой:

Так как в двух дизъюнктах содержатся переменные вместе с их отрицаниями, то, стало быть, они тождественно-ложны и их можно отбросить.

Преобразуем полученное выражение в КНФ:

После вычеркивания тождественно-ложных и повторяющихся элементарных конъюнкций останется

Стало быть все описание ситуации равносильно такому сложному высказыванию: “Били A и C и не бил B”. Отсюда - полицейским является B. А чтобы определить, кто из двоих остальных был признан преступником, а кто свидетелем, надо обратить внимание на то, что слова C никак не могут быть истинными, показания же A таковыми могут быть. Значит A - свидетель, B - преступник. Эти два последних обстоятельства можно было бы выявить и методами символической логики тоже, добавив к полученной формуле новые дополнительные условия. Можно было бы и с самого начала задать всю ситуацию во всех деталях и потом получить полный ответ, но тогда преобразования были бы очень сложными.

17. Задачи 17-20 взяты из книги В. Светлова “Практическая логика”.

A и B путешествуют вместе. Один из них - рыцарь (всегда говорит только правду), другой - лжец (никогда правды не говорит). Прохожий обращается к ним с вопросом: кто они? Ему отвечает A: “По крайней мере, один из нас - лжец”.

Как узнать, кто из них - рыцарь, а кто - лжец?

18. На вопрос прохожего к A и B, кто же они, A отвечает: “Или я - лжец, или B - рыцарь”.

Кто же они?

19. Пропала Поваренная книга и подозрения пали на Чеширского Кота, Герцогиню и Кухарку. По словам Герцогини, украл Чеширский Кот, который с этим согласился, а Кухарка отрицала, что украла она. По крайней мере, один из подозреваемых говорил правду, а тот, кто украл, лгал. Кто же украл Поваренную книгу?

20. После вторичной пропажи Поваренной книги подозрение снова пало на Чеширского Кота, Герцогиню и Кухарку. Были сделаны те же заявления, что и в прошлый раз (см. предыдущую задачу). Укравший Поваренную книгу лгал, двое других подозреваемых либо оба солгали, либо оба сказали правду. Кто украл Поваренную книгу?

21. Запишите в виде формулы логики предикатов высказывание: “Некоторые не вызывают на дуэль всех” и проверьте его истинность, если универсумом являются четыре главных героя “Трех мушкетеров”. Считать для простоты, что д`Артаньян только принимает вызов от других.

22. Запишите в виде формулы логики предикатов высказывание: “Не каждый кого-нибудь не тянет” и проверьте его истинность, если универсумом являются персонажи сказки про репку. Считать для простоты, что их только четыре: Дед, Бабка, Внучка, репка.

23. Запишите в виде формулы логики предикатов высказывание: “Не все интригуют против кого-то с помощью некоторых” и проверьте его истинность, если универсумом являются персонажи “Трех мушкетеров”: Король, Ришелье, Рошфор, леди де Винтер и д`Артаньян.

24. Определите истинностное значение формулы Универсумом являются те же персонажи, что и в задаче 21, предикатF(x,y), как и там, означает: x вызывает на дуэль y.

25. Определите истинностное значение формулы Универсумом являются те же персонажи, что и в задаче 21, предикатF(x,y), как и там, означает: x вызывает на дуэль y.

26. Определите истинностное значение формулы Универсумом являются те же персонажи, что и в задаче 22, предикатF(x,y) означает: x тянет y.

27. Определите истинностное значение формулы Универсумом являются те же персонажи, что и в задаче 22, предикатF(x,y) означает: x тянет y.

28. Определите истинностное значение формулы Универсумом являются те же персонажи, что и в задаче 23, предикатF(x,y,z) означает: x интригует против y с помощью z.

29. Запишите в виде формул логики предикатов следующие суждения, проведите отрицание полученных формул по правилам символической логики и после этого восстановите словесное выражение формул.

1) Некоторые художественные произведения написаны не прозой.

2) Все богословы - идеалисты.

3) Некоторые картины Рокотова не являются портретами.

4) Благотворительные организации не облагаются налогом.

5) Некоторые здания города - памятники архитектуры.

6) Самолет не является аппаратом легче воздуха.