Трофимов в.Г. Методические указания по линейной алгебре (определители, матрицы и системы линейных уравнений)

Определители 2

Определители второго и третьего порядков 2
Свойства определителей 3
Определители высших порядков 8

Матрицы 9
1. Линейные действия с матрицами 9
2. Умножение матриц 11
3. Обратная матрица 12
Системы линейных уравнений 14
1. Формулы Крамера 14
2. Решение систем с помощью обратной матрицы 15
3. Решение систем методом исключения неизвестных (методом Гаусса) 16
4. Однородные системы линейных уравнений 20

Ответы 22

1. Определители

1.1 Определители второго и третьего порядков

Определители второго порядка имеют вид

(1.1)

Числа a_ij называются элементами определителя. Диагональ определителя на которой расположены a₁₁, a₂₂, называется главной, вторая диагональ называется побочной.

Для вычисления определителя второго порядка надо из произведения чисел, стоящих на главной диагонали вычесть произведение чисел, расположенных на побочной диагонали.

Определитель третьего порядка вычисляется согласно равенству

(1.2)

При вычислении определителей третьего порядка обычно пользуются правилом треугольников: первые три слагаемых в правой части равенства (1.2) вычисляются по схеме I (рис 1.1);

I II

Рис 1.1

первое слагаемое представляет произведение элементов, стоящих на главной диагонали второе и третье слагаемое- произведение элементов, которые расположены в вершинных треугольников, у которых одна из сторон параллельна главной диагонали. Остальные три слагаемых правой части равенства (1.2) вычисляются по аналогичной схеме II (рис 1.1), где за основу взята побочная диагональ. При этом произведения, вычисленные по схеме II ставятся в формулу (1.2) с обратным знаком.

________________________________________________________________________________

Пример 1. Вычислить определитель