1.2 Свойства определителей

Свойство 1. При замене всех строк определителя на столбцы с теми же номерами величина его не изменится (равноправность строк и столбцов) т.е.

.

Это свойство утверждает равноправность строк и столбцов. В следующих пунктах ввиду равноправности строк и столбцов свойства сформулированы только для строк.

Свойство 2. При перестановке двух строк определитель меняет знак, оставаясь прежним по абсолютному значению, например, если поменять местами первую и третью строки, то

.

Свойство 3. Умножение всех элементов какой-либо строки на одно и то же число λ равносильно умножению на λ определителя, например,

.

Свойство 4. Если некоторая строка целиком состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Свойство 5. Если определитель содержит две одинаковые строки, то определитель равен нулю.

Свойство 6. Если элементы какой-либо строки пропорциональны элементам другой строки, то определитель равен нулю, например,

,

Свойство 7. Если каждый элемент какой-либо строки представляет сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, например,

.

Свойство 8. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, например,

.

Здесь элементы третьей строки умножили на λ и прибавили к первой. В частности, λ можно взять равным 1, тогда строки складываются; если λ=-1, то – вычитаются.

Следующие свойства связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.

Минором M_ij элемента a_ij называется определитель, получаемый из заданного вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца, в которых расположен элемент a_ij. Например, минором элемента a₂₁ определителя третьего порядка является

, минором элемента является и т.д.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij определителя называется минор M_ij, взятый со знаком «+», если сумма индексов элемента четная, и со знаком «-», если сумма нечетная, то есть A_ij=(-1)^i+j M_ij.

Например, A₂₁=(-1)²⁺¹ M₂₁= - M₂₁; A₃₁=(-1)³⁺¹ M₃₁= M₃₁.

Свойство 9. Определитель равен сумме произведений всех элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения.

Например, определитель третьего порядка содержит три строки, поэтому его можно разложить по первой строке:

,

или разложить по второй строке:

,

или разложить по третьей строке:

.

Можно также провести разложение по столбцам.

Свойство 10. Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Например, если все элементы первой строки умножить на соответствующие элементы третьей строки, то получим

.

Напоминаем, что все указанные свойства имеют место и для столбцов. Все свойства выполняются для определителей любого порядка.

________________________________________________________________________________

Пример 27. Числа 130, 169, 221 делятся на 13. Не раскрывая определителя, доказать, что определитель

делится на 13.

Решение. С помощью свойства 8 добьемся, чтобы в некоторой были числа130, 169, 221. Для этого 1-ую строку умножим на 100 и прибавим к 3-ей, получим

Теперь 2-ую строку умножим на 10 и прибавим к 3-ей, получим

По условию элементы последней строки делятся на 13, следовательно, общий множитель можно вынести за знак определителя. Отсюда, весь определитель делится на 13.

Пример 28. Не раскрывая определителей, проверить справедливость равенства

Решение. Преобразуем левый определитель. По свойству 1 строки сделаем столбцами, то есть

Сравнивая полученный определитель с определителем в условии примера, заключаем, что два первых столбца совпадают. Если все элементы первого столбца умножить на 2 и прибавить к третьему столбцу, то по свойству 8 получим

.

Равенство справедливо.

Пример 29. Не раскрывая определителей, проверить справедливость равенства

.

Решение. Свойство 7 применим для первой строки

.

К новым определителям снова применим свойство7, получим

(в первом определителе строки равны, в последнем равны столбцы, поэтому они равны нулю; во втором определителе поменяем местами строки)

(на основании свойства 7 представим в виде одного определителя и вынесем общий множитель)

.

Пример 30. С помощью разложения по элементам первого столбца вычислить определитель

Решение. Элементы первого столбца a₁₁=1, a₂₁=2, a₃₁=3. Их алгебраические дополнения

Согласно свойству 9 имеем

а₁₁А_{11 +} а₂₁А₂₁ + а₃₁А₃₁ = 1∙ 5 + 2 ∙ ( -10) + 3 ∙ 0 = - 15.

Пример 31. Вычислить определитель

.

Решение. Заметим, что первая строка имеет общий множитель 3, а первый столбец -2. Поэтому, применяя дважды свойство 3, получим

.

Полученный определитель можно вычислить, раскладывая по любой строке или столбцу. Однако разложение можно упростить, если в какой-то строке (в столбце) получить нули. Например, получим их в первой строке. Для этого воспользуемся свойством 8. Первый столбец умножим на (-2) и прибавим ко второму, получим

.

Затем первый столбец умножим на (-3) и прибавим к третьему

.

Вычислим определитель, раскладывая его по первой строке

Δ=6·(1·A₁₁+0·A₁₂+0·A₁₃)= 6·A₁₁.

Теперь необходимо вычислить только A₁₁. Имеем

и определитель Δ=6·(-23)=-138.