1.5 Понятие закона в символической логике

Среди выражений логики высказываний существуют три принципиально различные категории формул, которые играют неодинаковую роль в логических построениях. Лучше всего сначала познакомиться с ними на примерах. Возьмем три такие формулы:

Сводная таблица семантических значений для всех трех выражений, полученная методом нуля и единицы, показывает, что первая из них при всех наборах значений своих пропозициональных переменных - будь они истинны или ложны - всегда принимает значение «истинно», вторая, наоборот, в любом наборе дает значение «ложь», третья же имеет частично то и частично другое значения (см. табл. 5). Каждая из них является далеко не единственной в своем роде. Все они, напротив, принадлежат к целым особым классам формул логики высказываний.

Таблица 5

p	q	r
1	1	1	1	0	1
0	1	1	1	0	1
1	0	1	1	0	1
0	0	1	1	0	1
1	1	0	1	0	0
0	1	0	1	0	0
1	0	0	1	0	1
0	0	0	1	0	1

Если формула может давать при любом наборе переменных только истинные высказывания, то она принадлежит к так называемым общезначимым или тождественно-истинным выражениям. Их особое место в символической логике определяется тем, что они позволяют анализировать высказывания, пользуясь одними только средствами исчисления и правилами преобразования формул. Сложное выражение, получающееся из них заменой пропозициональных переменных повествовательными предложениями, а логических союзов - словами, будет всегда истинным. Надо только следить за тем, чтобы каждая переменная обязательно заменялась одним и тем же предложением во всех своих вхождениях в формулу. Причем в символической логике, как уже отмечалось, совершенно отвлекаются от содержания; здесь это имеет место даже еще в большей степени, чем в логике традиционной. Поэтому и получаемые с ее помощью результаты тоже не зависят от него. Они определяются только логическими связями. О каких бы предметах ни шла речь, высказывание о них, построенное по общезначимой формуле, будет всегда истинным. Нам это известно заранее; и если мы правильно пользовались правилами и законами символической логики, то тогда истинностные значения нам тоже заранее известны. Естественно поэтому назвать тождественно-истинные выражения законами.

Законы логики высказываний - это формулы, принимающие значение «истина» при всех наборах значений своих пропозициональных переменных.

Такие всегда истинные выражения называют иногда еще и общезначимыми. Помимо того, что они позволяют исследовать мысль, не обращаясь к ее содержанию, сверх этого они еще и помогают совершать логические операции. Их можно в некоторых случаях исключать из выражений или, наоборот, вставлять в них, не внося при этом искажений в содержание заложенной в формулу мысли. Особенно часто приходится использовать такой прием при работе с нормальными формами.

С помощью тождественно-истинных выражений легко записать и законы традиционной логики. Так, в формуле

нетрудно узнать закон запрета противоречия, а в формуле

- закон исключенного третьего. В самом деле, заменив в первой из них буквенную переменную на предложение «Гриб ядовитый», мы получим из данной формулы правильное высказывание: «Неверно, что гриб ядовитый и неядовитый». Проделав то же самое со второй, мы получим другое истинное высказывание: «Гриб либо ядовитый, либо неядовитый».

На данной стадии мы в состоянии дать обоснование данным законам, опираясь на изложенные ранее принципы и правила. Формула для закона противоречия преобразуется в выражение, не содержащее отрицания над скобкой, если провести ряд эквивалентных замен, используя правила (1) и (2):

Легко видеть, что в данной дизъюнкции при любом значении переменной будет содержаться 1, а этого достаточно для того, чтобы дизъюнкция оказалась истинной (см. также раздел об элементарных дизъюнкциях).

Общезначимость формулы для закона исключенного третьего непосредственно вытекает из полученной нами ранее формулы:

Применяя ее к выражению , получим:

Следовательно, и это выражение является истинным при любом значении переменной.

Формулы символической логики второй разновидности из приведенных в таблице являются тождественно-ложными, поскольку всегда принимают значение «ложь». В этом смысле они противоположны формулам-законам. Правильнее всего поэтому называть такие выражения противоречиями.

Противоречия - это формулы логики высказываний, принимающие значения «ложь» при любом наборе своих пропозициональных переменных.

Не надо, однако, смотреть на формулы-противоречия как на какую-то досадную помеху в логике высказываний. Во-первых, превращение их в законы осуществляется простым отрицанием (это отличает противоречия символической логики от противоречий в логике традиционной). Так, закон противоречия представляет собой простое отрицание тождественно-ложного выражения Во-вторых, постоянство семантического значения, даже ложного, все равно дает основу для анализа высказывания, записанного с помощью тождественно-ложной формулы. В-третьих, они, так же как и тождественно-истинные выражения, помогают осуществлять логические преобразования, упрощать когда надо сложные формулы.

Последняя категория выражений символической логики имеет в наборе своих значений как «истину», так и «ложь». Такой является третья из приведенных нами формул. Выражения данной разновидности называют нейтральными.

Нейтральными являются высказывания, которые хотя бы при одном сочетании значений своих пропозициональных переменных становятся истинными высказываниями и хотя бы при одном - ложными.

Поскольку истинностные значения таких формул остаются неизвестными, то при анализе высказываний их приходится каждый раз вычислять. Но это не дает основания относить нейтральные формулы к так сказать побочным продуктам логических разработок. Правда, в преобразованиях их использование сводится к нулю. Но символическая запись выражений имеет ведь не только это предназначение. Их более важной функцией является превращение словесных высказываний в формулы, которые оставались бы после этого адекватным воспроизведением действительности. Эта функция осуществляется через интерпретацию формул. С точки зрения отображения реальности во всей ее неповторимой конкретности нейтральные выражения имеют даже преимущества перед законами и противоречиями, вернее сказать, они не заменимы ничем иным на своем месте. Ибо законы воспроизводят самые общие черты действительного мира, а единичные явления через них не отображаются. Для этого подходят только нейтральные выражения.

Возьмем для примера такую формулу:

Просчитав по методу нуля и единицы все ее возможные значения, нетрудно убедиться, что она представляет собой закон - тождественно-истинную формулу. В качестве интерпретации можно взять, допустим, родственные взаимоотношения: «Она приходится ему или сестрой (p) , или кузиной (q) и при этом известно, что она - не сестра, следовательно, она ему доводится кузиной». С первого взгляда может показаться, что общезначимость этой формулы говорит о ее хорошем соответствии реальности. Но на самом деле, как можно убедиться, соответствие тут скорее должно быть частичным - лишь при некоторых семантических значениях переменных. В самом деле общезначимость выражения заставляет признать, что и при обоих ложных простых высказываниях оно будет истинным; стало быть, на деле она не будет доводиться ему ни сестрой (p=0), ни кузиной (q=0) а мы, просчитав формулу при этих значениях переменных, сделаем вывод, что она ему все-таки приходится кузиной, и должны считать этот вывод правильным.

Дело здесь не в несовершенстве аппарата символической логики. Просто данная ситуация не должна описываться общезначимой формулой. Более корректной являлась бы такая, которая приводила бы к истинному высказыванию при разных семантических значениях переменных (истинно, что она - сестра, и неистинно, что кузина, или наоборот) и к ложному в случае, когда оба они ложны. К такой формуле можно прийти, если усилить вывод об осуществлении одной из альтернатив при неосуществлении другой записью того, что отсутствие одной из этих альтернатив обязательно ведет к наличию другой, например, в таком виде:

Такое выражение дает ложное высказывание при подстановке в нее на место букв двух ложных простых суждений и в то же время при разных значениях последних, оно, как и первая формула, превращается в истинное утверждение. Причем истинность формул зависит от сочетания значений переменных, но, однако, не зависит от их содержания. И та, и другая формулы будут всегда приводить к одним и тем же семантическим результатам, идет ли речь о преступнике, который мог проникнуть в помещение через окно или крышу, но через окно не проникал, или еще о каких-нибудь аналогичных альтернативах. В этом смысле обе формулы можно было бы считать законами, но тогда мы использовали бы это понятие в общеупотребительном смысле, а не в том специфическом, который принят в символической логике.

Помимо отмеченных трех видов формул других их разновидностей в логике высказываний нет. Нейтральные выражения и законы составляют вместе класс так называемых выполнимых выражений. Объединяющим их признаком является то, что соответствующие им сложные высказывания реализуемы на практике хотя бы при некоторых условиях.

Выполнимыми являются выражения, которые по меньшей мере при одном сочетании значений своих пропозициональных переменных принимают значение «истина».

С учетом объединения нейтральных выражений и законов в одну разновидность все формулы логики высказываний подразделяются на два класса - выполнимые и противоречия.

Среди законов логики высказываний имеются фундаментальные, из которых выводятся менее общие, производные от них. Таким образом, вся теория символической логики может быть развернута в длинную цепь теорем и положений. Самые первые установления задаются аксиоматически - постулируются без доказательства. Выработка аксиом, удовлетворяющих всем требованиям к ним целиком и полностью, - не такая уж простая задача. Существует несколько возможных вариантов аксиоматического построения символической логики, в основу которых кладутся разные наборы простых и достаточно самоочевидных положений, называемых иногда тавтологиями. В этом учебнике не предусматривается теоретически строгое выведение всей совокупности законов символической логики, так как это предполагает серьезную математическую подготовку.

Мы остановимся лишь на самых важных и наиболее применимых на практике[Остальное в этом параграфе можно не изучать, если возникнут трудности.]. Совокупность развитых ранее положений послужит нам теоретической базой, они помогут нам обосновать последующие установления символической логики. В этом смысле те принципы, которые уже рассмотрены, являются фундаментальными, они позволят нам вывести последующие. Но надо помнить, что их математически строгого обоснования здесь нет. Развернутая на предыдущих страницах аргументация построена отчасти на примерах, отчасти на полуинтуитивных догадках. Однако поскольку в гуманитарных отраслях науки большей строгости и не требуется, то с точки зрения принятых здесь критериев достигаемое таким путем теоретическое единство более чем удовлетворительно решает основную задачу - придать изложению предельно компактный характер.

Ряд положений в логике называют правилами. Они тоже могут быть записаны формулами, но используются в первую очередь при выполнении операций.

Правило подстановки. Исключительно большую роль в преобразованиях символических выражений играет правило подстановки. Мы уже пользовались им, хотя не давали обоснования этому. Согласно данному правилу любую буквенную переменную в символическом выражении можно заменять на произвольную формулу. Если исходная формула - общезначимое выражение, то тогда и новая усложненная формула тоже будет общезначимой. Так, в законе исключенного третьего вместо p можно вставить, скажем, и тогда получится выражение

Читаться оно теперь уже будет так: или верно, что , или неверно, что . Понятно само собой, что это выражение останется общезначимым. Замена же переменных формулами в нейтральных выражениях может приводить к изменению истинностных значений некоторых наборов переменных.

Наряду с развертыванием формул в более сложные правило подстановки позволяет также делать обратные преобразования - свертывать большие формулы в более сжатые, когда в них попадаются повторяющиеся элементы. Например, в формуле

дважды встречается выражение Обозначив этот элемент через t, можно записать исходную формулу компактнее:

Правило дистрибутивности. Еще одним важным установлением логики высказываний является так называемое правило дистрибутивности, которое записывается в двух выражениях:

A(BC)=(AB)(AC), (10)

A(BC)=(AB)(AC). (11)

Это правило можно записать для большего числа переменных, если воспользоваться правилом подстановки. Допустим, у нас имеется формула (AB)(CD). Заменим одну из скобок, скажем первую, буквой E и тогда у нас получится выражение, для которого закон дистрибутивности уже написан нами: E(CD), Это позволит нам записать новое выражение

(AB)(CD)= E(CD),

применив к нему правило (10), получим

(AB)(CD)= (EC) (ED).

Теперь снова воспользуемся правилом подстановки, но уже для обратной цели - развернуть каждую из стоящих справа скобок и затем применить к каждой из них правило (10):

(AB)(CD)= ((AB)C) ((AB)D),

(AB)(CD)= ((AC) (BC) (AD) (BD)).

В последнем преобразовании мы учли также правило, разрешающее переставлять местами конъюнкты. Наконец, убрав лишние скобки и записав дизъюнкты в другом порядке, получим усложненное правило дистрибутивности:

(AB)(CD)= ((AC) (AD)  (BC)  (BD)). (12)

Совершенно аналогично можно и правило дистрибутивности (11) обобщить на большее число переменных:

(AB)(CD)= ((AC)(AD)(BC)(BD)). (13)

Закон двойственности. В логике высказываний имеется также закон двойственности. Из формул (2) и (4) можно увидеть, что конъюнкция и дизъюнкция переходят друг в друга в некотором отношении подобным образом: чтобы получить из дизъюнкции конъюнктивное выражение, надо поменять знаки над пропозициональными переменными и над самой формулой, затем поменять знак дизъюнкции на конъюнктивный. Точно таким же образом конъюнкция переходит в дизъюнкцию. В логике высказываний доказывается также, что сходным способом преобразуются строгая дизъюнкция и эквивалентность:

Мы можем получить эту формулу, опираясь на те фундаментальные положения, которые изучены ранее. Для этого надо осуществить цепочку эквивалентных преобразований выражения (AB). Сначала согласно (8) заменить эквивалентность на конъюнкцию двух импликаций и одновременно перевести импликации в дизъюнкции согласно (7), затем с помощью правила дистрибутивности для четырех переменных (12) развернуть формулу

Освобождаем полученное выражение от тождественно-ложных дизъюнктов и получаем

Две образовавшиеся у нас конъюнкции переведем в дизъюнкции (равносильность (2)):

И теперь полученную дизъюнкцию двух скобок переведем в соответствии с (4) в конъюнкцию тех же скобок:

После упрощений нами получено выражение, в котором нетрудно узнать отрицание строгой дизъюнкции, записанной через эквивалентность (9), свернув ее в соответствии с этой формулой, мы получили формулу, которую надо было доказать.

Заметим попутно, что строгая дизъюнкция при одновременной смене знаков над обоими ее переменными не меняет своего семантического значения; это можно увидеть из закона (9): при подобной смене все сводится к перестановке правой и левой скобок.

Обоснование второй из приведенных формул проводится аналогично.

Знаки  и , а также и  называют двойственными. И все формулы, получающиеся простой заменой знаков на двойственные им, тоже называют двойственными. Переход в двойственное выражение, описываемый законами (2), (4), (14), (15), осуществляется и применительно к двойственным формулам любой сложности. Так, если у нас имеется формула

то двойственная ей будет

Как гласит закон двойственности, если формулы A и B эквивалентны, то тогда обязательно эквивалентны между собой и двойственные им формулы A* и B*.

В том случае, когда формула содержит знаки импликации и отрицания над выражениями, то для образования двойственной ей надо сначала избавиться от того и другого, после этого можно строить двойственную формулу.

С помощью принципа двойственности легко осуществлять отрицание любого выражения. Для этого надо заменить все знаки над переменными на противоположные, а все логические союзы - на двойственные (избавив, разумеется, сначала формулу от импликации и отрицаний над скобками, если они там имеются).

Закон контрапозиции. Этот закон был известен еще Аристотелю. В традиционной логике с ним приходится сталкиваться в разделе о непосредственных умозаключениях и среди условно-категорических силлогизмов. Суть этого закона состоит в том, что, когда нам известна обусловленность одного положения другим (AB) , то отсутствие второго является свидетельством отсутствия первого (от отсутствия следствия можно заключать к отсутствию основания - . Существует закон простой контрапозиции и сложной. Простой вариант этого закона может быть записан следующим образом:

Покажем, что эта формула является тождественно-истинной. Для этого преобразуем все импликации в дизъюнкции, воспользовавшись соответствующими формулами:

.

На последнем этапе преобразований мы воспользовались правилом дистрибутивности, причем скобка выполняла роль одного из членов выражения для этого правила. Получилась конъюнктивная нормальная форма; ее каждая элементарная дизъюнкция содержит переменную вместе со своим отрицанием, следовательно, исходное выражение является тождественно-истинным или законом..

Можно обосновать и более сильное выражение этого же самого закона простой контрапозиции. Для этого надо сначала применить полученный закон к выражению :

А это означает, что закон контрапозиции действует как в прямом, так и в обратном порядке, и мы можем написать его в двух формах:

, ,

затем конъюнктивно объединить обе формулы в одну:

и потом заменить обе импликации (в больших скобках) на одну эквивалентность, как это допускается формулой (8). Тогда у нас между скобками в (16) будет стоять не знак импликации, а эквивалентность:

В традиционной логике некоторым подобием контрапозиции является противопоставление предикату. Согласно правилам этого вида непосредственного умозаключения из суждения, скажем, «Радуга имеет семь цветов» можно вывести: «Несемицветное не является радугой». Чтобы сходство с контрапозицией стало очевиднее, лучше записать все рассуждение в иной форме: «Если явление есть радуга, то оно семицветное; следовательно, если явление не семицветное, то оно не есть радуга» гдеp - «Явление есть радуга», q - «Явление - семицветное»).

Обратите, однако, внимание, что в традиционной логике обратное преобразование сделать нельзя. То есть, взяв конец нашего рассуждения («Если явление не семицветное, то тогда оно - не радуга») и преобразовав его по правилам противопоставления предикату, мы получим вместо того суждения, с которого начали («Радуга имеет семь цветов»), существенно иное: «Некоторые явления, не являющиеся радугой, имеют семь цветов». В силу этих обстоятельств правильнее считать законом простой контрапозиции формулу (16), а не более сильный вариант. Его обоснование оказалось возможным из-за действующих в символической логике упрощающих допущений, о чем уже неоднократно говорилось.

Закон усложненной контрапозиции. Преимущество методов символической логики над традиционными в данном вопросе состоит в том, что они позволяют усложнить закон контрапозиции, распространив его на выражения с тремя переменными.

Его интерпретацией может быть, скажем, такое рассуждение: «Если абитуриент сдал вступительные экзамены и оплатил обучение, то он зачисляется в вуз, следовательно, если он не зачисляется в вуз, то значит или не сдал вступительные экзамены, или не оплатил обучение».

Как и в первом случае, мы подтвердим с помощью КНФ общезначимость этой формулы. Для этого заменим все импликации в формуле на дизъюнкции в согласии с (7):

Полученная КНФ показывает, что данная формула общезначима. Как и в случае простой контрапозиции, можно точно так же доказать и более сильное выражение этого закона, когда между двумя половинками формулы не импликация, и эквивалентность.

Закон импортации. Его называют также законом внесения антецедента и записывают с помощью формулы

Смысл этого выражения не нуждается в особом пояснении. «Если зимой наступает оттепель, то, если затем ударит мороз, тогда на улицах гололед, отсюда следует, что если зимой наступает оттепель и затем ударит мороз, то тогда на улицах гололед» - такой пример может послужить иллюстрацией этого закона. Его приведение к конъюнктивной нормальной форме тоже не представляет особых затруднений:

Первое выражение получилось в результате замен всех импликаций в соответствии с (7) на дизъюнкции, затем мы стали преобразовывать конъюнкции в соответствии с (2) и дизъюнкции по формуле (4). Из полученного итога непосредственно виден общезначимый характер исходной формулы (18).

Закон экспортации. Этот закон представляет обратное отношение к тому, которое открывается в предыдущем:

и так же легко обнаруживает свой общезначимый характер:

Закон транспозиции. Соотношение логических союзов, названное законом транспозиции, было известно еще древним логикам из философской школы стоиков. Этот закон они даже доказывали. Нормальные формы ими, правда, не использовались. Их доказательства основаны на рассуждениях о логических союзах и их комбинациях. Но так делается и в современных учебниках по символической логике. В древних системах счисления нет также символов. Вместо них используются числительные. Конъюнктивное выражение в их передаче будет звучать: «Есть первое и второе», импликация у них выражается так: «Если есть первое, то есть и второе». Формула этого закона выглядит следующим образом:

Чтобы придать ему наглядность, возьмем высказывание «Если товар ходовой и рентабельный, то мы получим прибыль». Согласно закону транспозиции при верности такого высказывания должно быть истинным также и высказывание «Если товар ходовой, но прибыли нет, то, значит, товар не рентабельный». Для сведения выражения к нормальной форме избавимся сначала от импликаций, а затем от отрицаний над скобками:

По такой методике можно исследовать и все остальные выражения логики высказываний. Правда, когда заранее неизвестно, к какой категории относится анализируемое выражение, тогда приходится приводить его сначала к КНФ и, если оно не является тождественно-истинным, то тогда надо еще привести его и к ДНФ. Если же оно и к тождественно-ложным не относится, то значит перед нами нейтральное выражение.

Допустим, предстоит провести проверку такой формулы:

(pq)(pr)(p(qr).

Для этого нам надо сначала привести ее к нормальной форме, избавляя от импликаций по формуле (7) и появляющихся вследствие этого отрицаний над скобками по формулам (2) и (4), тогда придем к выражению:

которое далее может быть преобразовано в дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ):

Из нее видно, что нет даже хотя бы только одного дизъюнкта, в котором элементарная конъюнкция включала бы в себя переменную вместе с ее отрицанием. Отсюда - данная формула не относится к разряду тождественно-ложных.

Остается узнать, является ли она тождественно-истинной, для чего надо полученную нормальную форму свести к КНФ. В этом случае сведение будет много сложнее. Сначала сгруппируем выражение в две большие скобки и применим к каждой из них правило дистрибутивности (13):

У нас получилось две конъюнктивные нормальные формы – одна в большой скобке справа, другая – слева. Мы можем применить к ним правило дистрибутивности (12), рассматривая каждую маленькую скобку (в одном случае символ p) как одну переменную и учитывая, что самих переменных больше, чем указано в правиле. Тогда каждая такая скобка из левой части будет сочетаться с каждой из правой:

Из полученной конъюнктивной нормальной формы видно, что в каждой из ее элементарных дизъюнкций обязательно находится хотя бы одна переменная вместе с ее отрицанием. Следовательно, все конъюнкты тождественно-истинны, а значит и исходное выражение тоже. Можно поэтому утверждать, что взятая нами для анализа формула представляет собой один из законов логики высказываний.

Из других законов логики высказываний полезно помнить еще закон исключения:

законы поглощения:

и законы выявления:

С их помощью можно упрощать сложные выражения, что существенно облегчает проведение преобразований.