Элементы математической статистики

Выборочной совокупностью, или просто выборкой, называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов, из которых производится выборка.

Пусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака из генеральной совокупности извлечена выборкаобъема, причемнаблюдалосьраз,раз,раз и. Наблюдаемые значенияназываютвариантами, а последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, – вариационным рядом.

Числа наблюдений ;; …;называют частотами, а их отношения к объему выборки –относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот (в теории вероятностей – ряд распределения). Статистическое распределение можно задавать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки ,, …, , где–варианты выборки и– соответствующие им частоты (в теории вероятностей – многоугольник распределения).

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки , где–варианты выборки и– соответствующие им относительные частоты.

Пример. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:

	2	4	6
	10	30	20

Решение. Найдем объем выборки:

,

.

Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки:

.

Запишем распределение относительных частот:

	2	4	6

Контроль: .

Отложим на оси абсцисс варианты , а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты. Соединив точкиотрезками прямых, получим искомый полигон относительных частот, рис.6:

Рис.6

Эмпирической функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значенияотносительную частоту события:

,

где – число вариант, меньших.

Эмпирическая функция обладает следующими свойствами:

Свойство 1. Значения эмпирической функции принадлежат отрезку ;

Свойство 2. – неубывающая функция;

Свойство 3. Если – наименьшая варианта, а– наибольшая, топриипри.

Пример. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

	1	3	5
	10	20	30

и построить ее график.

Решение. Найдем объем выборки .

Наименьшая варианта равна единице, следовательно,

при.

Значение , а именно, наблюдалосьраз, следовательно,

при.

Значения , а именнои, наблюдалисьраз, следовательно,

при.

Так как наибольшая варианта, то

при.

Напишем искомую эмпирическую функцию:

График этой функции изображен на рис.7.

Рис. 7

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение.

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин. Статистические оценки могут быть точечные и интервальные.

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом. Интервальной называют статистическую оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.

Точечная оценка может быть несмещенной, т.е. ее математическое ожидание должно быть равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Несмещенной оценкой генеральной средней служит выборочная средняя

,

где – варианта выборки,– частота варианты,– объем выборки.

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия

.

Пример. Из генеральной совокупности извлечена выборка:

	1	2	5	7
	8	36	6	10

Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии.

Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя .

.

Найдем исправленную выборочную дисперсию:

.

Модой называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Например, для ряда

	1	3	5	7
	5	6	10	3

мода равна 5.

Медианой называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно, т.е., то; при четноммедиана.

Например, для ряда медиана равна 5; для рядамедиана равна.

Размахом варьирования называют разность между наибольшей и наименьшей вариан-тами:

.

Например, для ряда размах равен.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью покрывает оцениваемый параметр.

Для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признакапо выборочной среднейпри известном среднем квадратическом отклонениигенеральной совокупности служит доверительный интервал

,

где – точность оценки;– объем выборки;есть такое значение аргумента функции Лапласа(приложение 1), при котором.

Пример. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью неизвестного математического ожиданиянормально распределенного признакагенеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадратическое отклонение, выборочная средняяи объем выборки.

Решение. Требуется найти доверительный интервал

.

Здесь все величины, кроме , известны. Найдем. Из соотношенияполучим. По таблице (приложение1) находим. Подставив в формулу для нахождения доверительного интервала соответствующие знаенияи, получим искомый доверительный интервал.