- •Теория вероятностей
- •I. Программа курса «теория вероятностей и математическая статистика»
- •Раздел I. Теория вероятностей.
- •Тема 1. Основные понятия теории вероятностей. Предмет курса.
- •Тема 2. Зависимые и независимые случайные события. Основные формулы умножения и сложения вероятностей.
- •Тема 3. Повторные независимые испытания по схеме Бернулли.
- •Тема 4. Одномерные случайные величины и их характеристики.
- •Тема 5. Многомерные случайные величины и их свойства.
- •Тема 6. Функции случайных величин.
- •Раздел II. Математическая статистика.
- •Тема 11. Элементы математической статистики. Выборочный метод.
- •Тема 12. Статистические оценки параметров генеральной совокупности. Статистические гипотезы.
- •Тема 13. Элементы дисперсионного анализа.
- •Тема 14. Элементы теории регрессии и корреляции.
- •II. Методические указания предмет теории вероятностей
- •Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий s может либо произойти, либо не произойти.
- •Виды случайных событий
- •Операции над событиями
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрическая вероятность
- •Элементы комбинаторики
- •I. Перестановки
- •II. Размещения
- •III. Сочетания
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Формула полной вероятности. Формулы бейеса
- •Повторные независимые испытания. Испытания по схеме бернулли
- •Случайные величины и законы их распределения
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Законы распределения случайных величин
- •Системы двух случайных величин
- •Функция двух случайных аргументов
- •Элементы математической статистики
- •III. Контрольные задания
- •IV. Приложения
- •Элементы комбинаторики
- •Дискретные и непрерывные случайные величины
- •V. Тесты
- •Тема: Виды случайных событий, классическое определение вероятности, элементы комбинаторики
- •Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Тема: Случайные независимые испытания по схеме Бернулли
- •Тема: Одномерные случайные величины
- •VI. Литература
- •Содержание
- •I. Программа курса 4
- •II. Методические указания 6
- •III. Контрольные задания 34
Элементы комбинаторики
Комбинации |
Логическая схема комбинации |
Формула числа комбинаций |
Перестановки это комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. |
|
|
Размещения это комбинации из n элементов по k элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами, или порядком элементов. |
|
|
Сочетания это все возможные комбинации из n элементов по k элементов, которые отличаются друг от друга, по крайней мере, хотя бы одним элементом. |
|
|
Приложение 4
СХЕМА БЕРНУЛЛИ
I. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность события А постоянна и равна р. Вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз.
№ |
Значения n и р |
Формула |
1. |
, при любом . |
Формула Бернулли: , где . |
2. |
, . |
Локальная теорема Лапласа: , где ; Значения находят по таблице. |
3. |
, , (). |
Формула Пуассона: , где . |
II. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность события А постоянна и равна р. Вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится не менее k1 и не более k2 раз (причем ,).
Интегральная теорема Лапласа:
,
где ,;
Значения находят по таблице.
III. Наивероятнейшее число появления события А в n независимых испытаниях k0:
,
k0 – целое.
Приложение 5
Дискретные и непрерывные случайные величины
ДИСКРЕТНЫЕ СВ |
НЕПРЕРЫВНЫЕ СВ | ||||||||||
Способы задания | |||||||||||
.
. Функция распределения дискретной случайной величины является ступенчатой, сохраняющей постоянное значение на каждом интервале. |
. .
. . Дифференциальная функция обладает свойством: .
| ||||||||||
Числовые характеристики | |||||||||||
Математическое ожидание | |||||||||||
|
| ||||||||||
Дисперсия
| |||||||||||
|
| ||||||||||
Среднее квадратическое отклонение
| |||||||||||
Начальный момент порядка k
| |||||||||||
|
| ||||||||||
Центральные моменты
| |||||||||||
Коэффициент асимметрии
| |||||||||||
Эксцесс
| |||||||||||
Мода | |||||||||||
– значение, которому соответствует наибольшая вероятность. |
– значение, которому соответствует максимум функции | ||||||||||
Медиана | |||||||||||
|
|