4.3. Генерирование непрерывных случайных величин согласно заданному закону распределения

Существует много методов генерирования случайных величин. Для всех из них требуется источник независимых и равномерно распределенных в интервале [0,1) случайных чисел U_i(записывается это распределениеU(0,1)). ЧислаU_iпрограммно преобразуются в числаX_i,имеющие заданный закон распределения (например, экспоненциальное распределение, нормальное и т.д.). Мы рассмотрим один из методов такого преобразования –метод обратной функции.

Предположим, что необходимо генерировать случайную величину X, являющуюся непрерывной и имеющую функцию распределенияF(x)непрерывную и строго возрастающую, причем для любого x0<F(x)<1. (Напомним, что функция распределения в точкеxравна вероятности события, что случайное числоXпримет значение меньшее или равноеx. Т.е.F(x)=P(X≤x)).Например, функция распределения может иметь вид, показанный на рисунке. ОбозначимF^-1– это обратная функция кF. Тогда алгоритм генерирования случайной величиныXбудет следующий:

1. Генерируется U_i изU(0,1).

2. Возвращается X_i=F^-1(U_i)

Очевидно, что F^-1(U_i) всегда будет определено, т.к. 0≤U_i<1, а областью значений функцииF(x)является отрезок [0,1]. На рисунке 15этот алгоритм изображен графически.

Рис.15. Графическая иллюстрация метода обратной функции

В системе GPSSWorldобратное преобразование числа, которое дает генераторRNj, в число с заданным законом распределения выполняется с помощью функций языкаPLUS. ЯзыкPLUSявляется расширением языкаGPSS. Эти функции являются стандартными в системеGPSSWorldи могут быть использованы без всяких предварительных описаний.

Имеются 24 вероятностных распределения. Рассмотрим следующие:

Экспоненциальное (показательное) распределение:

Real=Exponential(RNj, m, s)

Здесь m– смещение распределения, аs– масштабный параметр.

Среднее v=m+s, а дисперсия D=s².

Нормальное (гауссово) распределение:

Real=NORMAL(RNj, m, s)

Здесь среднее v=mиD=s².

Параметр RNjэтих функций есть номер генератора равномерных случайных чисел.

Тема 5. Анализ выходных данных

5.1. Переходный период стохастического процесса

Наиболее распространенная ошибка при имитационном моделировании – это недостаточное внимание, уделяемое оценке выходных данных. Т.е. много усилий тратится на программирование модели, затем выполняется один прогон и полученные оценки рассматриваются как “истинные”. Однако для продвижения модельного времени используются случайные выборки, поэтому полученные оценки также являются лишь отдельными реализациями случайных величин с возможно большой дисперсией. На самом деле, чтобы получить правильные, значимые результаты при имитационном моделировании, нужно использовать статистические методы для разработки и анализа моделирующих экспериментов. При этом возникает ряд проблем, которые рассмотрены далее.

Пусть величины Y₁,Y₂, … представляют стохастический (случайный) процесс, развивающийся во времени. Например,Y_j– это средняя длина очереди в теченииj - го часа (либо коэффициент использования устройства в течениеj-х суток и т.п.) Продолжительность одного прогона на модели равнаm. Тогда в результате одногоi-го прогона получаем реализацию этих случайных величинy_i1, y_i2, …, y_im. Допустим, что выполняетсяnпрогонов, каждый с разной последовательностью случайных чисел. Т.е. предполагается, что перед началом каждого прогона статистические счетчики переводились в исходное состояние, использовались одни и те же начальные условия и генераторы случайных чисел выдавали разные последовательности величин. Тогда получаем матрицу реализаций {y_ij} (i=1,…n;j=1,…,m).

y₁₁, …, y_1i, …, y_1m

y₂₁, …, y_2i, …, y_2m

……………………..

y_n1, …., y_ni, …, y_nm

Данные наблюдений, полученные в результате определенного прогона (строка матрицы) не являются независимыми и одинаково распределенными. Поэтому к ним нельзя применять классические процедуры статистического анализа. Однако данные наблюдений из j- го столбца являются независимыми и одинаково распределенными. Поэтому к ним применяются обычные статистические методы. Например, их среднее арифметическое является несмещенной оценкой математического ожидания:

.

Поведение стохастического процесса можно разделить на переходный и установившийся (стационарный) период. Поведение в переходный период зависит от заданных начальных условий I. Например, если моделируется работа универсального магазина, то процесс изменения длины очереди в кассу зависит от числа покупателей, которые изначально находятся в торговом зале. Длительность самого переходного периода также зависит от начальных условий. Функции плотности распределения для каждого столбца матрицы {y_ij} являются различными.

Поведение стохастического процесса в стационарном периоде не зависит от начальных условий, а функции распределения по столбцам матрицы реализаций являются приблизительно одинаковыми (или стремятся к одному пределу).

Задача исследования может ставиться как для стационарного, так и для переходного периода. Стационарный режим обычно интересует исследователя при разработке новой системы, либо модификации старой, когда нужно оценить ее работу в течение длительного периода нормальной работы. (Например, компания планирует построить новую производственную систему, и хотела бы определить среднюю производительность этой системы за час за длительный период работы). Очень часто система не успевает войти в стационарный режим, либо он просто не существует. Например, нужно промоделировать работу банка в течение рабочего дня, причем характеристики потока клиентов изменяются в течение этого дня, имеются обеденные перерывы и т.д. В таком случае исследуется переходный период.

В случае, когда ставится задача исследования стационарного режима, возможны три подхода:

А) Разработать модель так, чтобы условия функционирования были типичными с самого начала. Этот подход требует от разработчика знания типичных условий работы и умения внести в модель эти условия, что не всегда реально.

Б) Проводить моделирование так долго, что данные, собранные в начале, “утонут” среди типичных данных и не окажут заметного влияния. Этот подход нежелателен, поскольку долгое моделирование требует значительных финансовых затрат.

В) Отбросить первые lнаблюдений, пока система не вошла в стационарный режим, и не учитывать их при расчете статистических характеристик. Этот способ решения задачи наиболее распространен.

Момент входа системы в стационарный режим можно определить по графику некоторой основной ее характеристики (обычно используется коэффициент загрузки устройства или памяти). Например, на рис.16 показан график изменения коэффициента загрузки многоканального устройства, из которого очевидно, что стационарный период наступает приблизительно в 1500 единиц модельного времени.

Рис.16. График коэффициента нагрузки многоканального устройства

Однако недостаток такого подхода в том, что график показывает лишь одну реализацию случайного процесса и не может гарантировать правильность определения переходного периода для всей совокупности его реализаций.