Значення квантилі нормального розподілу

Довірча ймовірність	0,80	0,90	0,95	0,99	0,999
	1,28	1,65	1,96	2,58	3,29

Чим менше , тим менш надійним є визначення довірчого інтервалу. При невеликій кількості результатів вимірювань (25 ... 30) використовують розподіл Стьюдента, і довірчу границю випадкової похибкислід розраховувати за формулою:

,

де – коефіцієнт Стьюдента,

–оцінка середнього квадратичного відхилення.

Значення коефіцієнта Стьюдента визначають при заданій довірчій ймовірностіі кількості результатів вимірюваньза табл. 1.2. При збільшенні кількості вимірювань (30) розподіл Стьюдента переходить в нормальний, а.

Таблиця 1.2

Значення коефіцієнта Стьюдента

n	Довірча ймовірність
	0,9	0,95	0,98	0,99	0,999
2	6,31	12,71	31,82	63,68	636,62
3	2,92	4,30	6,97	9,93	31,6
4	2,35	3,18	4,54	5,84	12,92
5	2,13	2,78	3,75	4,60	8,61
6	2,02	2,57	3,37	4,06	6,87
7	1,94	2,45	3,14	3,71	5,96
8	1,90	2,37	3,00	3,50	5,41
9	1,86	2,31	2,90	3,36	5,04
10	1,83	2,26	2,82	3,25	4,78
11	1,81	2,23	2,76	3,17	4,59
12	1,80	2,20	2,72	3,11	4,44
13	1,78	2,18	2,68	3,06	4,32
14	1,77	2,16	2,65	3,01	4,22
15	1,76	2,15	2,62	2,98	4,14
16	1,75	2,13	2,6	2,95	4,07
17	1,75	2,12	2,58	2,92	4,02
18	1,74	2,11	2,57	2,90	3,97
19	1,73	2,10	2,55	2,88	3,92
20	1,73	2,09	2,54	2,86	3,88
22	1,72	2,07	2,51	2,82	3,79
24	1,71	2,06	2,49	2,80	3,74
26	1,71	2,06	2,48	2,78	3,71
28	1,70	2,05	2,47	2,76	3,67
30	1,70	2,04	2,46	2,75	3,65
40	1,68	2,02	2,42	2,70	3,55
60	1,67	2,00	2,39	2,66	3,46
120	1,66	1,98	2,36	2,62	3,37
	1,65	1,96	2,33	2,58	3,29

1.3. Похибки засобів вимірювань

Найважливішим завданням метрології є забезпечення єдності вимірювань, де б, коли, ким і в яких умовах їх не проводили. Одним з найважливіших умов для реалізації єдності вимірювань є забезпечення однаковості засобів вимірювань. Під ним розуміють стан засобів вимірювань, коли вони проградуйовані в узаконених одиницях і їх метрологічні характеристики відповідають нормам.

Метрологічними характеристиками (МХ) називають характеристики засобів вимірювань, що впливають на результат вимірювання і його похибку. Для кожного типу засобів вимірювань нормують різні набори цих характеристик. Нормування – це встановлення границь на допустимі відхилення реальних МХ засобів вимірювань від їх номінальних (нормативних) значень. Нормовані МХ встановлюють в нормативних документах на засоби вимірювань. За допомогою нормування метрологічних характеристик засобів вимірювань забезпечують їх взаємозамінність і єдність вимірювань. Реальні (дійсні) значення МХ окремого засобу вимірювання даного типу можуть бути будь-якими в межах встановлених границь значень номінальних метрологічних характеристик. Дійсні МХ визначають експериментально.

Реальні значення МХ засобів вимірювань визначають при їх виготовленні, а потім періодично перевіряють в процесі експлуатації. Якщо при цьому хоча б одна з МХ виходить за встановлені границі, то засіб вимірювань регулюють, піддають ремонту або вилучають з обігу. Найважливішою МХ засобу вимірювань є його похибка.

Похибка засобів вимірювань (інструментальна) є однією зі складових похибки вимірювань і має визначальне значення для найбільш поширених технічних вимірювань. На рис. 1.8 наведено класифікацію похибок засобів вимірювань за низкою ознак.

Рис. 1.8. Класифікація похибок засобів вимірювань

1. За закономірністю прояву при повторних вимірюваннях однієї і тієї ж фізичної величини прийнято виділяти систематичну івипадкову похибки (або складові похибки) засобів вимірювань. В ці поняття в основному вкладається той же зміст, що і в поняття систематичної і випадкової похибок вимірювань (п. 1.1). Особливість тут полягає в тому, що всякий засіб вимірювання призначений для внесення визначеності в досліджуваний процес, а наявність випадкової складової похибки призводить до неоднозначності. У зв’язку цим перша задача, яку зазвичай вирішують при створенні засобів вимірювань, полягає в тому, щоб випадкову похибку зробити незначною. Якщо ця умова виконується, а елементи, що входять до засобу вимірювання, стабільні, можна шляхом градуювання забезпечити достатньо малі систематичні похибки засобу вимірювання.

2. Залежно від умов застосування вимірювальних пристроїв розрізняють основну і додаткову похибки.

Основною (англ. basic) похибкою засобу вимірювань називають похибку при використанні його в нормальних умовах.Нормальними є умови, які характеризуються значеннями впливних величин, при яких зміною результату вимірювань нехтують внаслідок малості. Нормальні умови вимірювань встановлюють в нормативних документах на засоби вимірювань конкретного типу. У більшості випадків до нормальних відносять наступні зовнішні умови:

температура навколишнього середовища 293 К  5 К;

відносна вологість повітря 65 %  15 %;

атмосферний тиск 103,3 кПа  4 кПа (750 мм рт. ст.  30 мм рт. ст.);

напруга електричної мережі 220 В  2 % з частотою 50 Гц.

При виході умов вимірювання за границі нормальних умов виникають додаткові похибки. Додаткова (англ. additional ) похибка засобу вимірювання – це похибка, що виникає додатково до основної похибки внаслідок відхилення якої-небудь з впливних величин від нормального значення або внаслідок її виходу за межі нормальної області значень.

Тому найчастіше для засобів вимірювань встановлюють робочі умови вимірювань. Робочими називають умови вимірювань, при яких значення впливних величин знаходяться в межах робочих областей, і в цих межах нормують додаткову похибку . Робочі умови зазвичай такі, що зміни значень величин для них істотно більше, ніж для нормальних умов, тобто область робочих умов включає в себе область нормальних умов. Наприклад, робочі температури багатьох типів засобів вимірювань мають межі -10 °С ... +40 °С.

Зміна похибки, як і інших характеристик засобів вимірювань під дією впливних величин, описують функціями впливу. Функція впливу – це залежність зміни якоїсь метрологічної характеристики засобу вимірювання від змін впливної величини або сукупності впливних величин в робочих умовах його застосування.

3. Залежно від характеру зміни величини в процесі вимірювання похибки засобів вимірювань поділяють на статичні і динамічні.

Статичною (англ. static) називають похибку засобу вимірювань у випадку вимірювання величини, прийнятої за незмінну.Динамічна (англ. dynamic) похибка виникає при вимірюванні змінних (в процесі вимірювань) величини.

4. За формою представлення похибки ділять на абсолютні, відносні і зведені. Поняття абсолютної і відносноїпохибок засобів вимірювань близькі розглянутим раніше похибкам вимірювань (п. 1.1, формули (1.1) і (1.2)). Зведена похибказасобу вимірювання являє собою відношення абсолютної похибкизасобу вимірювання до нормованого значення.Нормоване значення – це умовно прийняте значення величини, постійне у всьому діапазоні вимірювань або в частині діапазону. Зведена похибка обчислюється за формулою:

.

Часто за приймають верхню межу вимірювань або діапазон вимірювань засобу вимірювань. Виражають зведену похибку зазвичай у відсотках.

5. Залежність похибки від значення вимірюваної величини визначається прийнятою конструкцією (схемою) і технологією виготовлення засобу вимірювання. Через недосконалість конструкції і технології виготовлення реальна функція перетворення Y=f_p(X) () засобу вимірювання відрізняється від номінальної Y=f_н(X) (). Відхилення реальної функції перетворення від номінальної залежать від значення вимірюваної величини. За цією ознакою похибки прийнято розділяти на адитивну, мультиплікативну, лінійності і гістерезису (рис. 1.9).

Адитивна (отримується шляхом додавання) – це похибка, яка залишається постійною при всіх значеннях вимірюваної величини. Адитивні похибки виражають внутрішні властивості засобу вимірювань, притаманні йому незалежно від зовнішніх впливів. Прикладами такого роду служить похибка, викликана зрушенням шкали приладу і похибка, обумовлена ненульовим порогом реагування («похибка нуля»). На рис. 1.9а показано зміщення реальної функції перетворення щодо номінальної, при цьому вихідний сигнал засобу вимірювання при всіх значеннях вимірюваної величини буде більший або менший на одну і ту ж величину, ніж він повинен бути, відповідно до номінальної функцією перетворення.

а)	б)
в)	г)
д)	е)

Рис. 1.9. Реальна і номінальна функції перетворення:

а, б – адитивна похибка, в, г – мультиплікативна похибка, д – похибка лінійності, е – похибка гістерезису

Якщо адитивна похибка є систематичною, то вона може бути усунена. Для цього в засобах вимірювань зазвичай є спеціальний налаштувальний вузол (коректор) нульового значення вихідного сигналу. Якщо адитивна похибка є випадковою, то її не можна виключити повністю, а реальна функція перетворення зміщується по відношенню до номінальної в часі довільним чином. При цьому для реальної функції перетворення можна визначити деяку смугу (рис. 1.9б), ширина якої залишається постійною при всіх значеннях вимірюваної величини. Виникнення випадкової адитивної похибки зазвичай викликано тертям в опорах, контактними опорами, дрейфом нуля, шумом і фоном засобу вимірювання.

Мультиплікативна (отримується шляхом множення) – це похибка, яка лінійно зростає (або спадає) із збільшенням вимірюваної величини. Прикладом такої похибки є похибка вимірювального перетворювача, обумовлена відмінністю дійсного коефіцієнта перетворення від номінального. Графічно поява мультиплікативної похибки інтерпретується поворотом реальної функції перетворення щодо номінальної (рис. 1.9в). Якщо мультиплікативна похибка є випадковою, то реальна функція перетворення представляється смугою, показаної на рис. 1.9г. Причиною виникнення мультиплікативної похибки зазвичай є зміна коефіцієнтів перетворення окремих елементів і вузлів засобів вимірювань.

На рис. 1.9д показано взаємне розташування номінальної та реальної функцій перетворення засобу вимірювання в випадку, коли відмінність цих функцій викликано нелінійними ефектами. Якщо номінальна функція лінійна, то спричинену таким розташуванням реальної функції перетворення систематичну похибку називають похибкою лінійності. Її причинами можуть бути конструкція засобу вимірювання та нелінійні спотворення функції перетворення, пов’язані з недосконалістю технології виробництва.

Найбільш істотною і, яка важко усувається, систематичною похибкою вимірювальних пристроїв є похибка гістерезису, що виражається в розбіжності реальної функції перетворення при збільшенні (прямий хід) і зменшенні (зворотний хід) вимірюваної величини (рис. 1.9е). Похибка гістерезису призводить до варіації вихідного сигналу. Варіація є різницю показів, одержуваних при вимірюваннях одного і того ж значення вимірюваної величини, спочатку – наближенням до нього з боку менших значень (прямий хід), потім – з боку великих значень шкали (зворотний хід). Причинами гістерезису є люфт і сухе тертя в механічних передавальних елементах, гістерезисний ефект у феромагнітних матеріалах, внутрішнє тертя в матеріалах пружин, явище пружної післядії в пружних чутливих елементах, явище поляризації в електричних, п’єзоелектричних і електрохімічних елементах і ін.