1.2.2. Правило трьох сигм.

Характерна властивість нормального розподілу полягає в тому, що в інтервалі [] знаходиться близько 68 % з усіх його результатів вимірювань. В інтервалі [] – 95 %. В інтервалі [] – 99,73 % (рис. 1.6). Отже, майже всі результати вимірювань лежать в інтервалі(по трив кожну сторону від). За межами цього інтервалу можуть знаходиться 0,27 % даних від їх загальної кількості (приблизно три з тисячі результатів вимірювань).

Рис. 1.6. Ілюстрація правила трьох сигм

Звідси слідує, що якщо будь-яке значення величини виходить за межі , то з великою ймовірністю його можна вважати помилковим.

На основі цього сформульовано правило трьох сигм: якщо при багатократних вимірах (25 ... 30) однієї і тієї ж величини сталого розміру сумнівний (англ. doubtful) результатокремого вимірювання (максимальний або мінімальний) відрізняється від середнього значення більш ніж на, то з ймовірністю 99,7 % він є хибним, тобто якщо

, (1.3)

то є промахом; його відкидають і не враховують при подальшій обробці результатів вимірювань.

Закон нормального розподілу працює при кількості результатів вимірювань . В реальності отримують скінченне число вимірювань, які підкоряються закону розподілу Стьюдента. При25 розподіл Стьюдента прямує до нормального.

1.2.3. Точкова та інтервальна оцінки істинного значення вимірювальної величини.

При вимірюванні неможливо визначити істинне значення вимірюваної величини. Можна лише з більшою або меншою впевненістю оцінити це значення, розглядаючи його умовно як параметр нормального розподілу. Оцінка істинного значення здійснюється за кількістю результатів повторних вимірювань величини. Чим більше, тим точніше можна оцінити істинне значення. Виділяють поняття точкової й інтервальної оцінок.

Точкова оцінка (тобто оцінка у вигляді числа) істинного значення величини включає в себе оцінки і. Оцінкоює середнє арифметичне значення, його обчислюють за формулою:

, (1.4)

де – результат-го одиничного вимірювання.

Оцінкою є середньоквадратичне відхилення, його обчислюють за формулою:

. (1.5)

Оцінки, наведені в формулах (1.4) і (1.5), є випадковими величинами. Якщо провести повторне вимірювання і за його результатами обчислити і, то їх значення будуть відрізнятися від попередніх. Повторюючи вимірювання та обчислюючи за їх результатамита, можна отримати низку значеньі, які також є випадковими величинами і підпорядковані нормальному закону розподілу. Для оцінки розсіювання цих розподілів використовують поняття середнього квадратичного відхилення середнього арифметичного, що є оцінкою середнього квадратичного відхилення результату вимірювання. Його визначають за формулою:

.

Точкові оцінки використовують в основному в наукових дослідженнях і розробках, коли проводять велику кількість вимірювань. Чим менша кількість отриманих результатів вимірювань, тим легше допустити помилку при оцінці параметрів розподілу. У такому випадку важливо визначити не тільки і, а й отримати впевненість, що істинне значення знаходиться в деякому довірчому інтервалі. Для цього проводять інтервальну оцінку.

Інтервальна оцінка істинного значення – це довірчий інтервал, в якому з заданою довірчою ймовірністю знаходиться істинне значення вимірюваної величини. Частіше вибирають0,9, 0,95 і 0,99. Границі довірчого інтервалу (рис. 1.7) визначають за формулою:

,

де – це довірча похибка (довірча границя випадкової похибки результату вимірювань).

Рис. 1.7. Довірчий інтервал

Достовірність вимірювань (один з показників якості результатів) залежить від ступеня довіри до результату і характеризується ймовірністю того, що істинне значення лежить в зазначених довірчих границях. визначає найбільше і найменше значення похибки вимірювань, що обмежують інтервал, усередині якого з заданою довірчою ймовірністю знаходиться істинне значеннярезультату вимірювань. Причомуможе бути в будь-якому місці довірчого інтервалу (не обов’язково в його середині), а з ймовірністюнавіть поза ним. При великий кількості результатів вимірювань (25...30) довірчу границю випадкової похибкиобчислюють за формулою:

, (1.6)

де – квантиль нормального розподілу (квантильний множник),

–середньоквадратичне відхилення.

Значення квантильного множника визначають за таблицею функції Лапласа при заданій довірчій ймовірності(табл. 1.1). Формулу (1.6) використовують для визначення границь довірчого інтервалу, якщо є досить велика кількість результатів вимірювань (більше 25) або якщо на основі попередніх дослідів із достатньою кількістю вимірювань визначено значеннядля даного методу.

Таблиця 1.1