1.2. Оцінка випадкової похибки

При проведенні повторних вимірювань однієї і тієї ж величини отримуємо результати вимірювань, деякі з яких відрізняються за числовим значенням один від одного, а деякі збігаються. Розбіжності між результатами вказують на наявність випадкових похибок .

Нанесемо результати повторних вимірювань величини щодо їх надходження на числову вісь (рис. 1.3). Маленькі кубики, що показують кількість вимірювань, розташовуються уздовж горизонталі відповідно до вимірюваних значень. Сукупність таких кубиків утворює фігуру, яка називається гістограмою. Вона характеризує можливий розкид результатів вимірювань.

Рис. 1.3. Побудова статистичного розподілу

При збільшенні кількості вимірювань можна побачити наступне: незважаючи на те, що самі значення змінюються, їх розподіл підпорядковується деякому правилу. В більшості випадків це правило таке: основна частина виміряних значень групується близько деякого середнього значення, причому значення, близькі до середнього зустрічатимуться частіше значень, що відрізняються від нього, і чим більше відхилення, тим рідше воно зустрінеться.

При реєстрації все більшої кількості даних, через деякий час їх розподіл стабілізується, і зміни з приходом все нових і нових вимірювань будуть практично непомітні. Таким чином, гістограма перетворюється в згладжену криву розподілу. На рис. 1.3 показано розподіл, що найбільш часто зустрічається на практиці – нормальний розподіл.

Таким чином, сукупність великої кількості результатів повторних вимірювань підпорядковується певним законам. При описі цих законів метрологія використовує математичний апарат теорії ймовірності. Теорія ймовірності розглядає властивості випадкових явищ, які відбуваються при масових подіях, тобто в сукупності великої кількості подій, до числа яких відносяться і багаторазово повторювані вимірювання. При цьому результат вимірювання величини, що містить випадкову похибку, а також саму випадкову похибку , розглядають як випадкову величину. Для кількісної оцінки об’єктивної можливості появи того чи іншого значення випадкової величини служить поняття ймовірності, яку виражають в частках одиниці (ймовірність достовірного події дорівнює 1, а неможливої події – 0).

1.2.1. Нормальний закон розподілу випадкової величини. Параметри нормального розподілу.

Математичний опис неперервних випадкових величин (до числа яких належить і ), здійснюється звичайно за допомогою законів розподілу випадкової величини. Ці закони визначають зв’язок між можливим значенням випадкової величини і відповідної йому густини ймовірності.

Найбільш поширеним при вимірюваннях є нормальний закон розподілу (рис. 1.3). Він спостерігається, коли розбіжності результатів зумовлені великою кількістю незалежних причин і жодна з них не домінує над іншими. На рис. 1.4а показана крива нормального розподілу для деякої вимірюваної величини . По осі абсцис відкладені значення величини, а по осі ординат – імовірність їх виникнення. Крива нормального розподілу симетрична лінії, що проходить через центр розподілу(математичне сподівання), і має дзвоноподібну форму. Розсіювання результатів окремих вимірювань щодо центру розподілу характеризується середнім квадратичним відхиленням.Математичне сподівання є тим значенням величини, навколо якого групуються результати окремих вимірювань.є мірою розсіювання результатів відносно, тобто характеризує форму кривої розподілу.

а	б

Рис. 1.4. Криві нормального розподілу:

а – випадкової величини , б – випадкової похибки

Перенісши початок координат в точку , отримаємо криву розподілу випадкової похибки (рис. 1.4б).

На рис. 1.5 наведені криві нормального розподілу при різних значеннях (розсіювання результатів). Порівнюючи їх між собою, можна встановити, що розсіювання для кривої 2 менше, ніж для кривої 3, але більше, ніж для кривої 1. Очевидно, що найбільш висока збіжність спостерігається для результатів вимірювань, розподілених відповідно до кривої 1.

Рис. 1.5. Криві нормального розподілу з різним розсіюванням значення величини,

Математичний вираз для опису кривої нормального розподілу випадкової величини (рис. 1.4а), запропонований Гауссом, має вигляд

.

Для опису кривої нормального розподілу випадкової похибки (рис. 1.4б) вираз можна переписати у вигляді

.

і є двома найважливішими параметрами нормального розподілу випадкової величини. Достатньо знати ці параметри, щоб задати нормальний розподіл.