ФИЗИКА / 0626613_AF52B_barkov_yu_a_zverev_o_m_perminov_a_v_sbornik_zadach_po_obshey

4.4. АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА

Основные формулы

Атом водорода

Первый постулат Бора. Атомы могут длительно пребывать только в таких состояниях, находясь в которых они не излучают энергии. Этим стационарным состояниям соответствуют определенные энергии Е1, Е2, … Еn атома.

Второй постулат Бора. При переходе из одного стационарного состояния в другое атом испускает или поглощает излучение строго определенной частоты, определяемой условием hν = Em – En.

Стационарным состояниям атома соответствуют вполне определенные орбиты, по которым движутся электроны. Момент импульса (количества движения) L электрона для стационарных орбит

кратен h . 2π

Радиусы круговых орбит электрона определяются равенством

Длина волны λ света, излучаемого атомом водорода при переходе с одной орбиты на другую, может быть определена из сериальной формулы

товые числа, определяющие номера орбит электрона.

141

Энергия кванта света, излучаемого атомом водорода при пе-

ионизации атома водорода: Еi = –13,6 эВ.

Энергия ионизации, выраженная в электрон-вольтах, численно равна потенциалу ионизации, выраженному в вольтах. Потенциалом ионизации называется ускоряющая разность потенциалов, которую должен пройти бомбардирующий электрон, чтобы приобрести кинетическую энергию, достаточную для ионизации атома.

Волны де Бройля

Формула де Бройля. Длина волны λ, связанная с частицей, об-

ладающей импульсом р, выражается равенством λ = h . p

Так как импульс р в классическом приближении (v << c) выра-

нима со скоростью света в вакууме, импульс p = mv = m0v .

1− v2 c2

Иногда при вычислениях длины волны де Бройля импульс р частицы удобно выражать через ее кинетическую энергию W.

142

Радиоактивность

Основной закон радиоактивного распада: число нераспавшихся атомов в образце радиоактивного изотопа уменьшается со временем экспоненциально: N = N0e– λt, где N – число нераспавшихся атомов в момент времени t; N0 – число нераспавшихся атомов в момент, принятый за начальный (t = 0); е – основание натуральных логарифмов; λ – постоянная радиоактивного распада.

Число атомов, распавшихся за время t: N0 – N = N0 (1 – e– λt). Если промежуток времени ∆t очень мал по сравнению с пе-

риодом полураспада Т1/2, то для определения числа распавшихся атомов служит приближенная формула ∆N ≈ λN∆t.

Период полураспада Т1/2 – промежуток времени, за который число нераспавшихся атомов уменьшается в два раза. Период полураспада связан с постоянной распада соотношением

Среднее время жизни τ радиоактивного нуклида – промежуток времени, за который число не распавшихся атомов уменьшает-

ся в е раз: τ = 1λ .

Число атомов, содержащихся в образце нуклида: N = m N A ,

A

где m – масса образца; А – масса килограмм-атома нуклида; NA – число Авогадро.

Активность а образца измеряется числом ядер, распавшихся в

единицу времени: a = − dN = λN , или после замены N: а = λN0 e– λt. dt

Активность образца в начальный момент (при t = 0) а0 = λN0. Активность образца изменяется со временем по тому же зако-

ну, что и число нераспавшихся ядер: а =а0 е– λt.

Энергия связи атомных ядер

Дефект массы. Согласно релятивистской механике масса покоя М устойчивой системы взаимосвязанных частиц меньше суммы масс покоя m1 + m2 + … + mk тех же частиц, взятых в свободном со-

143

стоянии. Разность ∆М = (m1 + m2 + … + mk) – М называется дефектом массы системы частиц.

Уменьшение массы покоя свободных частиц при соединении их в устойчивую систему происходит вследствие освобождения некоторой части энергии покоя этих частиц. Выделившаяся энергия называется энергией связи.

Из закона сохранения энергии следует, что наименьшая энергия, которую нужно затратить, чтобы расчленить устойчивую систему взаимосвязанных частиц на отдельные свободные частицы, равна энергии связи.

Энергия связи прямо пропорциональна дефекту массы системы частиц ∆W = с2∆М, где с2 – коэффициент перехода от массы

кэнергии, численно равный квадрату скорости света в вакууме;

с2 = ∆∆ МW = 8,987 1016 Дж/кг = 8,987 1016м2 /с2 .

Если энергия выражена в мегаэлектрон-вольтах, а масса в атомныхединицах, тос2 = 931, 44 МэВ/а.е.м.

Дефект массы ∆М атомного ядра есть разность между суммой масс свободных протонов и нейтронов и массой образовавше-

Ядерные реакции

Символическая запись ядерной реакции может быть дана или в развернутом виде, например 94 Be + 11 H → 42 He+ 63 Li , или сокращен-

но 9Be (р, α) 6Li.

Обозначения частиц: p – протон, n – нейтрон, d – дейтрон, t – тритон, α – альфа-частица, γ – гамма-фотон.

При решении задач применяются законы сохранения:

–числа нуклонов А1 + А2 = А3 + А4;

–заряда Ζ1 + Ζ2 = Ζ3 + Ζ4;

–релятивистской полной энергии Е1 + Е2 = Е3 + Е4;

–импульса рG1 + рG2 = рG3 + рG4 .

Энергетический эффект ядерной реакции Q = c2[(m1 + m2) –

– ( m3 + m4)], где m1 – масса покоя ядра – мишени; m2 – масса покоя

144

бомбардирующей частицы; m3 + m4 – сумма масс покоя ядер продуктов реакции.

Если m1 + m2 > m3 +m4, то энергия освобождается, энергетический эффект положителен, реакция экзотермическая.

Если m1 + m2 < m3 +m4, то энергия поглощается, энергетический эффект отрицателен, реакция эндотермическая.

Примеры решения задач

№ 1. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона.

Р е ш е н и е.

Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов:

в сериальную формулу для водорода); n1 – номер орбиты, на которую перешел электрон; n2 – номер орбиты, с которой перешел электрон (n1 и n2 – главные квантовые числа).

Энергия фотона ε выражается формулой ε = hc/λ . Поэтому, умножив обе части равенства (1) на hc, получим выражение для

Вычисления выполним во внесистемных единицах: Е1 = 13,6 эВ; Z = 1 (заряд ядра атома водорода в относительных единицах, где за единицу заряда принято абсолютное значение заряда электро-

на); n1 = 2; n2 = 4;

145

№ 2. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля для двух случаев: 1) U1 = 51 В; U2 = 510 кВ.

Р е ш е н и е.

Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой

где h – постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия W. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 В и U2 = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую

146

из формул – (4) или (5) – следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона W, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, находится следующим образом: W = eU.

В первом случае W1 = eU1 = 51 эВ = 0, 51 10–4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е0 = m0с2 = 0, 51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения

Во втором случае кинетическая энергия W2 = eU2 = 510 кэВ = = 0,51 МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что W2 = 0, 51 МэВ = meс2, по формуле (5) найдем

λ2 = 2, 43 пм =1, 4 пм . 3

№ 3. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка T = 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Р е ш е н и е.

Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид ∆ x∆ ≥p =, где ∆ x – неопределенность координаты части-

цы (в данном случае электрона); ∆ р – неопределенность импульса частицы (электрона); = – постоянная Планка, деленная на 2π .

147

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью

Физически разумная неопределенность импульса ∆ р во всяком случае не должна превышать значения самого импульса р,

т.е. ∆ р ≈ р.

Импульс р связан с кинетической энергией Т соотношением p = 2mW . Заменим ∆ р на 2mW (такая замена не увеличит l).

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

№ 4. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра 73 Li .

Р е ш е н и е.

Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра ∆ m и есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.

где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов в ядре); mр, mn, m – соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

148

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в нее входила масса М нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих нейтральную оболочку атома:

М = m + Zme, откуда m = М – Zme.

Выразив в равенстве (1) массу ядра по последней формуле,

получим ∆m = Ζmp + (A – Ζ)mn – M + Ζme, или ∆m = Ζ (mp + me) + + (A – Ζ)mn – M.

Энергией связи ∆ Е ядра называется энергия, которая в той или иной форме выделяется при образовании ядра из свободных нуклонов.

В соответствии с соотношением пропорциональности мас-

или с2 = Е/∆ m = 9 · 1016 Дж/кг. Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то с2 = 931 МэВ/а.е.м. С учетом этого формула (3) примет вид

Подставив ранее найденное значение дефекта массы ядра

вформулу (4), получим

Е= 931 0,04216 МэВ = 39,2 МэВ.

№5. При соударении α -частицы с ядром бора 105 B произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых яд-

149

ра. Одно из них – ядро атома водорода 11 H . Определить порядковый

номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.

Р е ш е н и е.

Обозначим неизвестное ядро символом АZ X . Так как α -частица представляет собой ядро гелия 42 He , запись реакции имеет вид

4 + 10 → 1 + A

2 He 5 B 1 H z X .

Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение 4 +10 = 1 + А, откуда А = 13. Применив закон сохранения заряда, получим уравнение 2 + 5 = 1 +Z, откуда Z = 6.

Следовательно, неизвестное ядро является ядром изотопа атома углерода 136 С.

Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется

по формуле Q = 931[(mHe + mB) – (mH + mC)]. Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых

скобках – массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующих соображений.

Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.

Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтральных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут, и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер. Подставив массы атомов, взятые из справочной таблицы в расчетную формулу, получим

Q = 931[(4,00260 + 10,01294) – (1,00783 + 13,00335)] МэВ= 4,06 МэВ.

№ 6. Определить начальную активность радиоактивного препарата магния 27Mg массой m = 0,2 мкг, а также его активность А через время t = 6 ч. Период полураспада T1/2 магния считать известным.

150