ФИЗИКА / 0626613_AF52B_barkov_yu_a_zverev_o_m_perminov_a_v_sbornik_zadach_po_obshey
.pdfдикулярна плоскости колебаний (I–I) плоскополяризованного света, падающего на него. Введение кварцевой пластины приводит к повороту плоскости колебания света на угол
φ = αl, |
(1) |
где l – толщина пластины.
Зная, во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении
его через поляроид, определим угол β, который установится между плоскостью пропускания поляроида и новым направлением (II–II) плоскости колебаний падающего на поляроид плоскополяризованного света. Для этого воспользуемся законом Малюса: I = I0cos2β.
Заметив, что β = π/2 – |
φ, можно написать I = I0cos2(π/2 – φ), |
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
I = I0sin2φ. |
|
|
(2) |
|||
Из равенства (2) с учетом (1) получим αl = arcsin |
I |
, откуда |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
I0 |
|
искомая толщина пластины |
l = |
1 |
arcsin |
I |
. Подставим числовые |
||
|
|
||||||
|
|
α |
I0 |
|
|
значения и произведем вычисления (во внесистемных единицах): l = 48,91 arcsin 1/ 2 = 48,945 мм = 0,92 мм.
Варианты заданий приведены на стр. 377–409.
4.3. КВАНТОВАЯ ОПТИКА
Квантовой оптикой называют раздел физики, в котором изучаются оптические явления на основе представления о свете как потоке частиц. Согласно теории М. Планка, в дальнейшем развитой А. Эйнштейном, излучение и поглощение света веществом происходит конечными порциями, называемыми квантами (фотонами).
131
Подобно частице, фотон обладает релятивистской массой и энергией. Особенностью фотона является то, что он неделим, движется со скоростью света и его масса покоя равна нулю. Квантовая теория позволила решить задачу теплового излучения, объяснить явление фотоэффекта, эффект Комптона и давление света.
Задачи, связанные с определением массы, импульса или энергии фотона, решаются на основании соответствующих формул. При этом нельзя забывать, что фотон – релятивистская частица и формулы классической физики к нему неприменимы. Если в задаче наряду с фотонами рассматриваются другие частицы (например, фотон сталкивается с электроном, протоном и т.п., или требуется сравнить массу, импульс или энергию фотона с соответствующей характеристикой частицы) и специально не оговорено, релятивистские они или нет, то нужно вычислить энергию Е и энергию покоя Е0 частицы. Если Е < Е0, то частицу можно считать нереляти-
вистской и использовать законы классической физики; если Е > Е0, то необходимо применять формулы специальной теории относительности.
Задачи на фотоэффект решаются на основании формулы Эйнштейна и вытекающих из нее соотношений:
–красная граница фотоэффекта – это минимальная частота ν0 или максимальная длина волны λ0, при которых возможен фотоэффект; соответствующая энергия кванта равна работе выхода электрона из поверхности данного металла;
–задерживающее напряжение U3 (задерживающая разность потенциалов) – это минимальная разность потенциалов между анодом и катодом, при которой электрическое поле между электродами достаточно сильное, чтобы не дать фотоэлектронам долететь до
анода; U3 по величине равно максимальной кинетической энергии фотоэлектронов;
–ток насыщения Iн – это максимальный ток в цепи при условии, что катод освещается одним и тем же источником света; Iн по величине равен суммарному заряду всех электронов, испускаемых катодом в единицу времени.
Задачи на давление света решаются на основании формулы
р= Есэ (1 + ρ) . При этом следует помнить, что она справедлива
132
только для случая, если свет падает перпендикулярно поверхности тела. Часто эту формулу удобно использовать в другой форме запи-
си. Поскольку освещенность Еэ равна энергии, падающей в единицу времени на единицу плошади тела, то ее можно представить в виде
p = (1 + ρ) nhν , c
где n – число фотонов с частотой ν, падаюших в единицу времени на единицу площади поверхности тела.
Если свет падает на поверхность под некоторым углом α, следует обратить внимание на то, что площадь S поперечного сечения светового пучка и площадь S0 на поверхности тела, на которое падает этот пучок, не равны друг другу, а связаны соотноше-
нием S = S0 · cosα.
Основные формулы
Законы теплового излучения
1. Закон Стефана – Больцмана. Энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна абсолютной температуре в четвертой степени:
Rэ = σT 4,
где σ – постоянная Стефана – Больцмана.
Энергетической светимостью называется величина, численно равная энергии излучения всех длин волн с единицы поверхности
тела в единицу времени: Rэ = ∞∫ rλdλ , где rλ – спектральная плотность
0
энергетической светимости (т.е. энергетическая светимость, приходящаяся на единичный интервал длин волн).
2. Закон смещения Вина. В спектре излучения абсолютно черного тела длина волны λ0, на которую приходится максимум энергии излучения, обратно пропорциональна абсолютной температуре:
133
λm = b ,
T
где b – постоянная Вина.
Фотоэлектрический эффект
3. Формула Эйнштейна для фотоэффекта:
hν = A + Wmax,
где hν – энергия фотона, падающего на поверхность металла; А – работа выхода электрона; W – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона, вылетевшего из металла.
Если энергия фотона меньше 5 кэВ, то кинетическая энергия W
может быть определена по классической формуле Wmax = me v2 , где
2
me – масса покоя электрона.
Если энергия фотона больше 5 кэВ, то для вычисления кинетической энергии W следует воспользоваться релятивистской фор-
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
, β = v/c. |
|
|
|
|
||||
мулой W = (m – me)c , или Wmax = mec |
|
|
|
|||
|
− β |
2 |
−1 |
|||
|
1 |
|
|
|
4. Максимальная длина волны λ0 (минимальная частота колебаний ν0), начиная с которой фотоэффект прекращается, называется
красной границей фотоэффекта: λ0 |
= |
hc |
, или ν0 |
= |
A |
, где h – посто- |
|
|
|||||
янная Планка. |
|
A |
|
h |
||
|
|
|
|
|
|
Давление света. Фотоны
5. Давление р, производимое светом при нормальном падении на поверхность с коэффициентом отражения ρ, выражается соотно-
шением р = Есэ (1 + ρ) , или р = ω(1+ ρ), где Еэ – энергетическая ос-
вещенность поверхности; с – скорость распространения света в вакууме; ω – объемная плотность энергии излучения.
134
В случае идеально отражающей (зеркальной) поверхности коэффициент отражения ρ = 1. В случае идеально поглощающей поверхности (поверхность абсолютно черного тела) коэффициент отражения ρ = 0.
6. Энергия ε фотона выражается формулой ε = hν = |
hc |
. |
||||
|
||||||
|
|
|
|
|
λ |
|
Масса m фотона выражается из закона пропорциональности |
||||||
массы и энергии следующим образом: m = |
ε |
= |
h |
. Импульс фото- |
||
c2 |
|
|||||
|
|
cλ |
на p = ε = h . c λ
Эффект Комптона
7. При соударении со свободным или слабо связанным (валентным) электроном фотон передает ему часть своей энергии, вследствие этого длина волны λ′ рассеянного фотона больше длины волны λ первичного фотона.
Изменение длины волны дается формулой Комптона
λ′− λ = h (1 − cosθ), mec
где m0 – масса покоящегося электрона; θ – угол рассеяния. Величи-
на Λ = h называется комптоновской длиной волны. При рассея- mec
нии на электроне Λ = 0,02436 Å = 2,436 · 10 –12 м.
Примеры решения задач
№1. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, λ0 = 0,58 мкм. Определить энергетическую светимость(излучательность) R0 поверхности тела.
Р е ш е н и е.
Энергетическая светимость R0 абсолютно черного тела в соответствии с законом Стефана – Больцмана пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры и выражается формулой
135
Rэ = σТ4, |
(1) |
||
где σ – постоянная Стефана – Больцмана; Т – |
термодинамическая |
||
температура. |
|
||
Температуру Т можно вычислить с помощью закона смеще- |
|||
ния Вина: |
|
||
λm = b/Т. |
(2) |
||
где b – постоянная закона смещения Вина. |
|
||
Используя формулы (2) и (1), получим |
|
||
Re = σ |
b |
4 . |
(3) |
|
|||
λ |
|
Выпишем числовыезначениявеличин, входящихвэту формулу:
σ = 5,67 10–8 Вт/(м2 · К4), b = 2,90 · 10–3 м· К, λm = 5,8 10–7 м и, подста-
вив числовые значения в формулу (3), произведем вычисления:
|
|
|
2,90 10−3 |
4 |
||
R0 |
= 5,67 10−8 |
|
|
|
|
Вт/ м2 = |
5,8 10 |
−7 |
|||||
|
|
|
|
|
|
=3,54 107 Вт/ м2 = 35,4 МВт/ м2 .
№2. Определить максимальную скорость vmax фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовыми лучами с длиной волны λ1 = 0,155 мкм; 2) γ-лучами с длиной вол-
ны λ2 = 1 пм.
Р е ш е н и е.
Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта
ε = А + Wmax, |
(1) |
где ε – энергия фотона, падающего на поверхность металла; А – работа выхода электрона из металла; Тmax – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.
Энергия фотона вычисляется также по формуле
ε = hс/λ, |
(2) |
136
где h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме; λ – длина волны.
Кинетическая анергия электрона может быть выражена или по классической формуле
W = |
mev2 |
|
, |
|
(3) |
|||
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|||
или по релятивистской |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
W = E0 |
|
|
|
|
|
−1 |
(4) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
− β |
2 |
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
в зависимости от того, какая скорость сообщается фотоэлектрону. Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызы-
вающего фотоэффект: если энергия ε фотона много меньше энергии покоя Е0 электрона, то может быть применена формула (3), если же ε сравнима по величине с Е0, то вычисление по формуле (3) приводит
кошибке, поэтому нужно пользоваться формулой (4).
1.Вычислим энергию фотона ультрафиолетовых лучей по формуле (2):
ε1 = |
6,63 10−34 3 108 |
Дж =1,28 10-18 Дж, или |
||
1,55 10−7 |
||||
|
1,28 10−18 |
|||
|
ε1 = |
|
эВ = 8 эВ . |
|
|
1,6 10−19 |
Полученная энергия фотона (8 эВ) много меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выраже-
2
на по классической формуле (3): ε1 = А + mevmax , откуда
2
vmax = |
2(ε1 − A) |
. |
(5) |
|
|||
|
me |
|
Выпишем числовые значения величин: ε1 = 1,28 10–18 Дж (вы-
числено выше), А = 4,7 эВ = 4,7 · 1,6 10–19 Дж, m0 = 9,11 10–31 кг.
137
Подставив числовые значения в формулу (5), найдем
vmax |
= |
2 |
(1, 28 10−18 |
− 0,75 10−18 ) |
м/с =1,08 106 |
м/с. |
||||||||
|
|
|
9,11 |
10−31 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2. Вычислим энергию фотона γ-лучей: |
|
|||||||||||
|
|
|
|
ε2 |
= |
hc |
= |
6, 63 10−34 3 108 |
Дж =1,99 |
10-13Дж, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
10−12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,99 10−13 |
|
|
|
|||||
или |
|
|
|
ε2 |
= |
|
эВ=1,24 106 эВ=1,24 МэВ. |
|||||||
|
|
|
1, 6 10−19 |
Работа выхода электрона (А = 4,7 эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией фотона (ε2 = 1,24 МэВ), поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона рав-
на энергии фотона: Wmax = ε2 = 1,24 МэВ. Так как в данном случае кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя, для
вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии (4). Из этой формулы найдем
β = |
(2E0 +W )W |
. |
Заметив, что v = cβ и Wmax = ε2, получим |
||||
|
|
||||||
|
|
E0 +W |
|
|
|
||
vmax = c |
(2E0 + ε2 )ε2 |
. |
|
||||
|
|||||||
|
|
E0 + ε2 |
|
|
|
||
|
Подставим числовые значения величин и произведем вычис- |
||||||
ления: vmax = 3 108 |
(2 0,51 +1, 24)1, 24 |
м/с = 2,85 108 м/с. |
|||||
0,51 +1, 24 |
|||||||
|
|
|
|
|
№3. В результате эффекта Комптона фотон при соударении
сэлектроном был рассеян на угол θ = 90°. Энергия рассеянного фо-
тона ε2 = 0,4 МэВ. Определить энергию фотона ε1 до рассеяния. Р е ш е н и е.
Для определения энергии первичного фотона воспользуемся формулой Комптона
∆λ = 2 |
h |
sin2 |
θ |
, |
(1) |
|
|
||||
|
mec |
2 |
|
|
138
где ∆λ – изменение длины волны фотона в результате рассеяния на свободном электроне, ∆λ = λ2 – λ1; h – постоянная Планка; mе – масса покоя электрона; с – скорость света в вакууме; θ – угол рассеяния фотона.
Формулу (1) преобразуем следующим образом: 1) заменим в ней ∆λ на λ2 – λ1; 2) выразим длины волн λ1 и λ2 через энергии ε1 и ε2 соответствующих фотонов, воспользовавшись формулой ε = hc/λ; 3) умножим числитель и знаменатель правой части фор-
мулы на с. Тогда получим |
hc |
− |
hc |
= |
hc |
2sin2 |
θ |
. |
|
|
m0c2 |
|
|||||
|
ε2 ε1 |
2 |
|
Сократим на hс и выразим из полученной формулы искомую энергию:
|
ε2 mec2 |
|
ε2 E0 |
|
||
ε1 = |
|
= |
|
|
. |
(2) |
m0c2 − 2ε2sin2 θ |
E0 |
− 2ε2sin2 θ |
||||
2 |
|
|
2 |
|
|
где Е0 – энергия покоя электрона, Е0 = mec2.
Вычисления по формуле (2) удобно вести во внесистемных единицах. Взяв из таблицы значение энергии покоя электрона в мегаэлектрон-вольтах и подставив числовые данные, получим
ε1 = 0,4 0,51 ° =1,85 МэВ.
0,51− 2 0,4sin2 90
2
№4. Пучок параллельных лучей монохроматического света
сдлиной волны λ = 663 нм падает нормально на плоскую зеркальную поверхность. Поток излучения Ф = 0,6 Вт. Определить: 1) силу F
давления, испытываемую этой поверхностью; 2) число N1 фотонов, ежесекундно падающих на поверхность.
Р е ш е н и е.
1. Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления р на площадь S поверхности:
F = рS. |
(1) |
||
Световое давление может быть найдено по формуле |
|
||
p = |
Ee |
(ρ+1) , |
(2) |
|
|||
|
c |
|
139
где Еe – энергетическая освещенность (облученность); c – скорость света в вакууме; ρ – коэффициент отражения. Подставляя выражение (2) давления света в формулу (1), получим
F = |
Ee S |
(ρ+ 1) . |
(3) |
|
|||
|
c |
|
Энергетическая освещенность Ее есть величина, численно равная энергии, падающей на единичную площадку в единицу времени. Произведение Ее на S есть величина, численно равная энергии, падающей на данную площадку S в единицу времени, т.е. поток
излучения Ф = ЕеS. С учетом этого формула (3) примет вид |
|
F = Ф(ρ+ 1) . |
(4) |
c |
|
Величины, входящие в формулу (4), выпишем в единицах СИ: Ф = 0,6 Вт, с = 3·108 м/с, ρ = 1 (поверхность зеркальная). После подстановки этих величин в формулу (4) получим
F= 3 108 (1+1) = 4 10-9 H .
2.Произведение энергии ε одного фотона на число фотонов
N1, падающих на поверхность в единицу времени, равно мощности излучения, т.е. потоку излучения: Ф = εN1, а так как энергия0,6
фотона ε = hc/λ, то Ф = hcλ N1 , откуда
N1 |
= Фλ . |
(5) |
|
hc |
|
Выпишем величины, входящие в формулу (5), в единицах СИ:
Ф = 0,6 Вт, λ = 6,63 10–7 м, h = 6,63 10–34 Дж·с, с = 3 108 м/с. Под-
ставим полученные значения в расчетную формулу и произведем вычисления:
|
0, 6 6, 63 10−7 |
N1 = |
6, 63 10−34 3 108 с−1 = 2 1018 с-1 . |
140