ФИЗИКА / 0626613_AF52B_barkov_yu_a_zverev_o_m_perminov_a_v_sbornik_zadach_po_obshey
.pdfУчитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остается прежним, выразим разность потенциалов U2 следующим образом:
|
|
|
|
U2 = |
|
q |
|
= |
|
C1U1 |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
C1 |
+ C2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C1 + C2 |
|
|
|
||||||||||
Подставим выражение U2 в формулу (3): |
|
|
|
|||||||||||||||||
W ′ = |
С1U12 |
|
|
(С1 + С2 ) C12U12 |
|
С1U12 |
C12U12 |
|||||||||||||
|
− |
|
|
|
= |
|
|
|
|
− |
|
|
. |
|||||||
2 |
2 (C1 + C2 )2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 (C1 + C2 ) |
||||||||||||
После преобразований имеем W ′ = |
1 C1C2 |
|
U12 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 C1 + C2 |
||||||||
Подставим числовые значения и вычислим W´: |
||||||||||||||||||||
W ′ = |
1 3 10−5 5 10−6 |
1600 =1,5 |
мДж. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 3 10−6 + 5 10−6 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты заданий приведены на стр. 275–310.
3.2. ПОСТОЯННЫЙ ТОК
Задачи на постоянный ток можно разделить на два типа: вычисление сопротивлений, сил токов или напряжений на какомлибо участке цепи; задачи на работу, мощность и тепловое действие тока.
Из задач первого типа можно выделить вспомогательную группу – задачи на вычисление сопротивлений отдельных проводников и соединений из них. Если в условии задачи указано, из какого материала изготовлен проводник, или приводятся сведения о его геометрических размерах или массе, то для нахождения неизвестной величины нужно воспользоваться формулой сопротивления и соотношением между массой, объемом и плотностью проводника. Решение задач на вычисление сопротивлений сложных соединений нужно начинать с анализа схемы и отыскания в ней каких-нибудь двух (иногда более) проводников, соединенных друг
91
с другом последовательно или параллельно. Их сопротивление следует заменить одним эквивалентным сопротивлением, используя соответствующие формулы:
n |
1 |
n |
||
Rпосл = ∑ Ri и |
= ∑ |
1 |
, |
|
R |
|
|||
i =1 |
|
R |
||
парал |
i =1 i |
и получить упрощенную схему. В схемах, представляющих собой комбинацию последовательно и параллельно включенных проводников, этот прием нужно применять несколько раз и таким образом найти общее сопротивление.
При решении задач на определение силы тока, напряжения или сопротивления на каком-либо участке цели следует:
а) начертить схему и указать на ней все элементы цепи – источники тока, резисторы и конденсаторы;
б) установить, какие элементы цепи включены последовательно, какие – параллельно;
в) расставить токи и напряжения на каждом участке цепи; г) используя законы Ома, установить связь между токами
и напряжениями (ЭДС). В результате получается система уравнений, полностью отражающая условия задачи и позволяющая определить искомую величину.
Задачи второго типа можно, в свою очередь, разбить на три группы. К первой группе относятся задачи на расчет электрической цепи, аналогичные рассмотренным выше. Для их решения составляют те же уравнения законов Ома, но к ним добавляют формулы мощности (работы). Особое внимание следует обратить на выбор исходной формулы мощности. Если речь идет о мощности, выделяемой на участке цепи, нужно пользоваться формулой
P = I U = I2 R = U2/R.
Мощность, развиваемая источником, – полная мощность, определяется по формуле
P0 |
= I ε = |
ε2 |
, |
|
R + r |
||||
|
|
|
92
а мощность во внешней цепи источника тока
P = I ε |
2 |
r = |
ε2 R |
|
– I |
|
. |
||
( R + r )2 |
Ко второй группе относятся задачи на тепловое действие тока. Основным расчетным соотношением в них является закон Джоуля – Ленца:
Q = I2 R t.
Если участок цепи не содержит источников тока, то количество теплоты, выделяющееся на этом участке, можно определять по формуле
Q = I U t = U 2 t .
R
Третью, небольшую, группу составляют задачи о превращении электрической энергии в механическую, тепловую и химическую при работе электромашин постоянного тока. Решение таких задач основано на применении уравнения закона сохранения и превращения энергии.
Основные формулы
1. Сила тока
I = dq , dt
где q – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t.
Плотность тока
j = I/S,
где S – площадь поперечного сечения проводника.
Связь плотности тока со средней скоростью vG упорядоченного движения заряженных частиц
93
Gj = qn vG ,
где q – заряд частиц; n – |
|
их концентрация. |
|
|
||||||
2. Закон Ома: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) I = |
φ1 − φ2 |
|
= |
U |
|
– |
для участка цепи, |
не содержащего ЭДС |
||
|
R |
R |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(для однородного участка цепи), где ϕ 1 – ϕ 2 |
= U – |
разность потен- |
||||||||
циалов (напряжение) на концах участка цепи; R – |
сопротивление |
|||||||||
участка; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) I = |
(φ1 − φ2 ) ± ε |
– |
для участка цепи, содержащего ЭДС (для |
|||||||
|
||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
неоднородного участка цепи), где ε – ЭДС источника тока; R – полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротивлений). Знаки «+» или «–» выбираются в зависимости от полярности включения источника.
в) I = |
ε |
– для замкнутой (полной) цепи, где R – сопротив- |
|
||
|
R + r |
ление внешней цепи; r – сопротивление внутреннее (сопротивление источника тока).
3. Правила Кирхгофа:
а) |
∑ Ii = 0 – первое правило; |
б) |
∑ Ii Ri = ∑εi – второе правило, |
где ∑ Ii |
– алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле; |
∑ Ii Ri – |
алгебраическая сумма произведений сил токов на сопро- |
тивления участков замкнутого контура; ∑εi – алгебраическая |
сумма ЭДС в замкнутом контуре.
4. Сопротивление R и проводимость G однородного проводника:
R = ρ |
l |
, |
G = γ |
S |
, |
|
S |
|
l |
||
где ρ – удельное сопротивление; γ |
– удельная проводимость; l – дли- |
на проводника; S – площадь поперечного сечения.
94
Зависимость удельного сопротивления от температуры:
ρ = ρ0 (1 + αt ) ,
где α – температурный коэффициент сопротивления; t – температура по шкале Цельсия.
Сопротивление системы проводников:
а) R = ∑ Ri |
– |
при последовательном соединении; |
||||
б) |
1 |
= ∑ |
1 |
– |
при параллельном соединении, |
|
R |
Ri |
|||||
|
|
|
|
где Ri – сопротивление i-го проводника. 5. Работа тока:
dA = I U dt = I 2 R dt = U 2 dt . R
Закон Джоуля – Ленца (тепловое действие тока):
dQ = dA = I 2 Rdt,
где dQ – количество теплоты, выделяющейся в проводнике; dt – промежуток времени, в течение которого выделялось тепло.
Мощность тока полной цепи
P = Iε.
Мощность тока на внешнем участке цепи
P = IU = I2R = U2/R.
Закон Ома в дифференциальной форме
G G j = γ E .
Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме
w = γ E2,
где w – объемная плотность тепловой мощности (количество тепла, выделяющегося в единице объема за единицу времени).
95
Примеры решения задач
№ 1. Сила тока в проводнике равномерно нарастает от I0 = 0 до I = 2 А в течение времени τ = 5 с. Определите заряд, прошедший по проводнику.
Р е ш е н и е.
Так как сила тока в проводнике изменяется, воспользоваться для подсчета заряда формулой Q= I · t нельзя. Поэтому возьмем дифференциал заряда dQ = I · dt и проинтегрируем:
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = ∫ I dt . |
(1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
В силу равномерного нарастания тока I = kt, где k – коэффи- |
|||||||||||
циент пропорциональности. Очевидно, |
|
|
|
|
|
||||||
k = |
I − I0 |
= |
I |
|
и dQ = kt dt = |
1 |
t dt. |
||||
|
τ |
|
τ |
|
|
|
|
|
|
τ |
|
Проинтегрировав, получим |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
τ |
Iτ |
|
|
|
|
|
|
Q = |
∫t dt = |
. |
|||||||
|
|
τ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
Подставим числовые значения:
Q = 2 5 = 5 Кл. 2
№ 2. Найти полное сопротивление схемы (а), если она вклю-
чена в цепь в точках 1 и 2. R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R. Р е ш е н и е.
Очевидно, что сопротивления R3 и R5 соединены последовательно, так как в точке 4 разветвлений нет. Определив их общее сопротивление RЭ1 = 2R, представим схему в виде б. Теперь можно выделить параллельно соединенные сопротивления RЭ1 и R4. Сопро-
тивление между точками схемы 2 и 3 RЭ2 |
= |
RЭ1 R4 |
= |
2R R |
= |
2 |
R. |
|
|
|
|||||
|
|
RЭ1 + R4 |
2R + R 3 |
96
Схему можно представить в виде в. Тогда имеем последовательно соединенные сопротивления RЭ2 и R2. Их общее сопротивле-
ние RЭ3 = RЭ2 + R2 |
= |
5 |
R . Наконец, общее сопротивление всей |
|
|||
|
3 |
|
схемы (схема г) равно сопротивлению параллельно включенных сопротивлений RЭ3 и R1:
R12 = RЭ3 R1 = 5 / 3 R R = 5 R . RЭ3 + R1 5 / 3 R+ R 8
№ 3. По железному проводнику, диаметр d сечения которого равен 0,6 мм, течет ток 16 А. Определите среднюю скорость <v> направленного движения электронов, считая, что концентрация n свободных электронов равна концентрации п' атомов проводника.
Р е ш е н и е.
Средняя скорость направленного (упорядоченного) движения электронов определяется по формуле
|
l |
|
|
<v> = |
|
, |
(1) |
|
|||
|
t |
|
где t – время, в течение которого все
свободные электроны, находящиеся в отрезке проводника между сечениями I и II, пройдя через сечение II, перенесут заряд Q = eN и создадут ток
I = |
Q |
= |
eN |
, |
(2) |
t |
|
||||
|
|
t |
|
где е – элементарный заряд; N – число электронов в отрезке проводника; l – его длина.
97
Число свободных электронов в отрезке проводника объемом V можно выразить следующим образом:
N = n · V = n · l · S, |
(3) |
||||||
где S – площадь сечения. |
|
|
|
|
|
||
По условию задачи п = п'. Следовательно, |
|
||||||
n = n′ = |
N A |
= |
N A |
= |
N A ρ |
, |
(4) |
|
M / ρ |
|
|||||
|
Vµ |
|
M |
|
|||
где NА – постоянная Авогадро; |
Vµ – |
молярный объем металла; |
|||||
М – молярная масса металла; ρ – |
его плотность. |
|
Подставив последовательно выражения п из формулы (4) в равенство (3) и N из формулы (3) в равенство (2), получим
I = NA ρ l S e .
M t
Отсюда найдем
l = |
I M t |
|
. |
N A ρ S |
|
||
|
e |
Подставив выражение I в формулу (1), сократив на t и выразив площадь S сечения проводника через диаметр d, найдем среднюю скорость направленного движения электронов:
|
|
4I M |
|
|
|
|
|
v = πd 2 N A ρ e . |
|
|
|
Произведем по этой формуле вычисления: |
|
|
|||
v = |
|
4 16 56 10−3 |
= 4, 2 10−3 |
м/с. |
|
0,36 |
10−6 6 1023 98 10−9 1, 6 10−19 |
||||
3,14 |
|
|
№ 4. Потенциометр с сопротивлением Rп = 100 Ом подключен к батарее, ЭДС которой ε = 160 В и внутреннее сопротивление r = 50 Ом. Определить показание вольтметра с сопротивлением Rv = 500 Ом, соединенным с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра.
98
Какова разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра?
Р е ш е н и е.
Показание U1 вольтметра, подключенного к точкам А и В (рисунок), определяется по формуле
U1 = I1R1, |
(1) |
где I1 – сила тока в неразветвленной части цепи; R1 – сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра.
Силу тока I1 найдем по закону Ома для всей цепи:
I1 |
= |
ε |
, |
(2) |
|
||||
|
|
R + r |
|
где R – сопротивление внешней цепи.
Внешнее сопротивление R есть сумма двух сопротивлений:
R = |
Rп |
+ R1. |
(3) |
|
|||
2 |
|
|
Сопротивление |
|
R1 |
|
параллельного соединения |
может быть |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
RпRV |
||||||||
найдено по формуле |
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
, |
откуда |
R1 = |
|
|
. |
|||
|
R |
|
|
R |
Rп |
R + |
2R |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
V |
2 |
|
|
|
п |
V |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставив числовые значения, найдем |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
R1 = |
|
100 500 |
|
= 45,5 Ом. |
|
|
|||||||||
|
|
|
100 + 2 500 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из выражений (2) и (3) определим силу тока: |
|
|
||||||||||||||||
I1 = |
|
|
|
|
ε |
|
|
|
= |
|
|
150 |
=1,03 А. |
|||||
Rп |
2 |
+ R1 + r |
50 + 45,5 + 50 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если подставить значения I1 и R1 в формулу (1), то можно определить показание вольтметра: U1 = 1,03 · 45,5 В = 46,9 В.
99
Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I2 на половину сопро-
тивления потенциометра: U2 = I2 |
Rп |
= |
ε |
|
Rп |
. |
|
2 |
R + r |
2 |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
п |
|
|
Подставляя в эту формулу числовые значения, получим
U2 = |
|
150 |
100 |
= 50 B. |
||
|
|
|
|
|||
100 + 50 |
2 |
|||||
|
|
№ 5. Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех сопротивлений и гальванометра. В этой цепи R1 = 100 Ом, R2 = 50 Ом, R3 = 20 Ом, ЭДС элемента ε1 = 2 В. Гальванометр регистрирует ток I3 = 50 мА, идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить ЭДС ε2 второго элемента. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.
Р е ш е н и е.
Выберем направления токов, как они показаны на рисунке, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.
По первому правилу Кирхгофа для узлаF имеем
I1 – I2 – I3 = 0. |
(1) |
По второму правилу Кирхгофа имеем для контура АВСDFА:
–I1R1 – I2R2 = –ε1
или, после умножения обеих частей равенства на –1,
I1 R1 |
+ I2 R2 |
= ε1. |
(2) |
Соответственно, для контура AFGHA: |
|
||
I1 R1 |
+ I3 R3 |
= ε2. |
(3) |
После подстановки числовых значений в формулы (1), (2) и (3) получим:
100