14. Регрессионный анализ планирования экстремального эксперимента.
Планирование экспериментов можно рассматривать как кибернетический подход к организации и проведению экспериментальных исследований сложных экономических объектов и процессов, представляемых в виде имитационных моделей. Основная идея этого подхода состоит в возможности оптимального управления экспериментом в условиях неопределенности. При решении задач такого рода приходится учитывать большое количество факторов, что чрезвычайно затрудняет полное теоретическое решение задачи. Поэтому идут по пути установления закономерностей с помощью проведения серии экспериментов. Методы эмпирического поиска оптимального решения задачи основанные на теории экстремального эксперимента, помогают экспериментатору выбрать оптимальную стратегию эксперимента. Основными показателями оптимальности при этом являются уменьшение числа экспериментов при обеспечении той же точности результатов исследований или же сокращение числа экспериментов при увеличении точности результата. В общем случае объект выглядит так:
1
2
.
.
N
……
На входе
действуют управляющие переменные
,
контролирующие некоторые возмущения
На выходе – характеристики объекта
1,
2…..В итоге нужно получить представление
,
где
-
параметр, который должен получить
экстремум. Наше представление будет
выглядеть так:
,
где
-
это абсолютные величины, к которым мы
должны стремится. Пользуясь результатами
эксперимента можно получить выборочные
коэффициенты регрессии
…..,
которые являются лишь оценками,
приближенными значениями для теоретических
коэффициентов регрессии. В результате
будем иметь:
.
Допустим,
имеем N- число экспертов
(и соответственно число результатов
наблюдений над величиной У). Положим,
что результаты наблюдения нужно
представить полиномом степениd.
Тогда число коэффициентов регрессии
будет равняться:
,
где к = 1,2…..к. Необходимо, чтобы
.
Основа экстремального эксперимента – метод наименьших квадратов.
Рассмотрим
пример на получение и анализ уравнения
регрессии. Случай неортогонального
планирования. Неортогональное
планирование записывается следующим
образом:
.
Пусть есть следующие исходные данные:
известно, что полином имеет следующий
вид:
. Надо путем проведения эксперимента
проверить, можно ли его использовать.
Имеем 9 опытов.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
1 |
2 |
0 |
-1 |
|
|
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
1 |
2 |
-1 |
-1 |
|
|
10 |
16 |
22 |
14 |
18 |
23 |
42 |
4 |
3 |
|
|
10 |
17 |
20 |
14 |
18 |
42 |
40 |
3 |
3 |
|
|
0 |
1 |
-2 |
0 |
0 |
1 |
-2 |
-1 |
0 |
|
|
0 |
1 |
4 |
0 |
0 |
1 |
4 |
1 |
0 |
=
11\9 = 1,22;f= 9
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
10 |
|
|
9 |
5 |
5 |
|
Х = |
1 |
0 |
1 |
|
У= |
17 |
|
|
5 |
11 |
6 |
|
|
1 |
0 |
2 |
|
|
20 |
|
|
4 |
6 |
12 |
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
18 |
|
|
149 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
24 |
|
|
151 |
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
40 |
|
|
155 |
|
|
|
|
1 |
0 |
-1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-1 |
-1 |
|
|
3 |
|
| |
628 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
=
|
=
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
10.65 |
17.4 |
24.2 |
15.85 |
21 |
22.6 |
34.6 |
3.9 |
-2 |
|
|
10 |
17 |
20 |
14 |
18 |
42 |
40 |
3 |
3 |
|
|
0.65 |
-0.4 |
-4.2 |
-1.85 |
-3 |
1.4 |
5.4 |
-0.9 |
5 |
|
|
0.4 |
0.15 |
18.5 |
3.5 |
9 |
2 |
30 |
0.8 |
25 |
Поскольку нам известна ошибка опыта, можно определить отношение:
=
3.37 (для 10% уровня значимости), т.к. 12.1>
3.37, то гипотезу о случайном отклонении
отбрасываем.
Повысим степень полинома, следовательно выясним, получи ли мы адекватную модель. Для этого найдем уравнение регрессии в виде неполного уравнения 2-ой степени:
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
Х = |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
2 |
0 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
2 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
2 |
2 |
4 |
|
|
1 |
0 |
-1 |
0 |
|
|
1 |
-1 |
-1 |
1 |
(получим в результате тех же самых действий)
Fp < FT, следовательно гипотеза об адекватности уравнения может быть принята.
При ортогональной системе точек расчеты упрощаются, т.к. обратная матрица будет диагональной, миноры рассчитывать не надо.