17. Исследование уравнения регрессии, полученного при помощи дробных реплик.

Пусть имеем следующую матрицу планирования эксперимента (т.е. имеем дело с четвертой репликой).

Обобщающий контраст равен

№
1	+	-	-	-	-	-	50
2	+	+	+	-	-	-	57,2
3	+	-	-	+	+	-	48,1
4	+	+	-	+	-	+	46
5	+	-	+	+	-	+	64,8
6	+	+	-	-	+	+	45,8
7	+	-	+	-	+	+	54,8
8	+	+	+	+	+	-	53
	52,4	-2,025	5,05	0,575	-2,1	0,385

продолжение

№
1	50	-2,4	5,76	50,575	-0,575	0,33	1,825	3,33
2	57,2	4,8	23,04	56,625	-0,575	0,33	-4,22	17,85
3	48,1	-4,3	18,49	47,525	-0,575	0,33	4,875	23,75
4	46	-6,4	40,96	48,325	-2,325	5,4	4,075	16,6
5	64,8	12,4	153,76	62,475	2,325	5,4	-10,08	101,5
6	45,8	-7,1	50,41	42,975	2,325	5,4	9,425	88,8
7	54,8	2,4	5,76	57,125	-2,325	5,4	-4,72	22,2
8	53	0,6	0,36	53,575	-0,575	0,33	-1,17	1,58
						22,945
	- дисперсия воспроизводства общая			- остаточная дисперсия			- модельная дисперсия (адекватная)

1. 2.

3. , гдеn– количество коэффициентов в регрессионном уравнении.

Критерий Фишера:

Доверительные интервалы:

18. Крутое восхождение по поверхности отклика.

Поверхность отклика можно изобразить следующим образом:

мы находимся

крутое восхождение

точка оптимума

однофакторный эксперимент

Однофакторный метод решения задачи заключается в том, что первоначально фиксируется и осуществляется движение поиз точки О в точкуQ. ТочкаQпоявляется тогда, когда мы проходим перегиб. Далее фиксируется и осуществляется пошаговое движение из Q в R. Затем снова фиксируется и с помощью варьирования приходим изR вP. При крутом восхождении используется градиентный метод, когда одновременно изменяя и , выходим из точки О в точку Р. При этом значительно сокращается количество шагов. При градиентном методе алгоритм заключается в следующем:

B

I0 IA

- 1 0 1

Каждый шаг определяется коэффициентом регрессии , равным тангенсу угла наклона касательной к точке О. Если известенI- интервал изменения фактора, то шаг движения по градиенту АВ есть катет в треугольнике АОВ: АВ =I* - величина шага.

Рассмотрим пример крутого восхождения на матрице планирования эксперимента полуреплики с определенным контрастом. Такое планирование позволяет получить оценки коэффициентов уравнения регрессии.

Строим предварительную матрицу планирования эксперимента.

					у
Основной уровень	2	20	1	10
Интервал варьирования	1	10	0,5	5
Верхний уровень	3	30	1,5	15
Нижний уровень	1	10	0,5	5
Кодовое обозначение переменных					у
Опыт № 1	-	-	-	-	(1)	0,001675
Опыт № 2	+	-	+	-	ас	0,003405
Опыт № 3	-	-	+	+	cd	0, 001540
Опыт № 4	-	+	-	+	bd	0,03975
Опыт № 5	+	+	-	-	ab	0,038
Опыт № 6	+	-	-	+	ad	0,0047
Опыт № 7	-	+	+	-	bc	0,051
Опыт № 8	+	+	+	+	abcd	0,03975

При опыте № 1 в модель вставляются значения =1,= 10,= 0,5,=5 – значения нижнего уровня и т.д. Используя метод наименьших квадратов по данной матрице получим следующий полином:

Проверяя по критерию Фишера мы будем иметь Fр = 6,452,Fm (0,05) (3,8)= 3,2. По критерию Фишера не подходит, следовательно придется построить новую серию опытов. Причем, если с не линейностью можно было бы согласиться, то явная асимметрия коэффициентов регрессии (значительно больше, чемпри условиях линейной аппроксимации), что указывает на неправильный выбор интервалов варьирования. Учитывая это, решено поставить новую серию опытов, увеличив вдвое интервал варьирования ,ии перенеся начало координат в точку, соответствующую опыту № 8 (хотя опыт № 8 берем потому что он лежит как бы на краю предыдущей области, можно было бы взять опыт № 7). В результате имеем новую матрицу планирования эксперимента:

						у
Основной уровень		3	30	1,5	15
Интервал варьирования		2	10	1	10
Верхний уровень		5	40	2,5	25
Нижний уровень		1	20	0,5	5
Кодовое обозначение						у
Опыт № 1	(1)	-	-	-	-	0,02060
Опыт № 2	ас	+	-	+	-	0,034
Опыт № 3	cd	-	-	+	+	0, 03095
Опыт № 4	bd	-	+	-	+	0,04495
Опыт № 5	ab	+	+	-	-	0,1515
Опыт № 6	ad	+	-	-	+	0,9225
Опыт № 7	bc	-	+	+	-	0,08250
Опыт № 8	abcd	+	+	+	+	0,05955
Коэффициенты регрессии		0,0195	0,0203	-0,0138	-0,0066
* коэффициент варьирования		0,039	0,203	-0,0138	-0,066
Шаг соответствующего изменения к 5		0,9605	5	-0,339	-1,625
Округление		1	5	-0,3	-2
Опыт № 1		4	35	1,2	13	0,0206
Опыт № 2		5	40	0,9	11	0,304
Опыт № 3		6	45	0,6	9	1,076
Опыт № 4		7	50	0,3	7	2,22
Опыт № 5		8	55	0	5

После проведения опыта на модели согласно указанной матрице планирования и соответствующего значения верхнего и нижнего уровня будем иметь новые значения у. Используя метод наименьших квадратов, будем иметь следующую аппроксимирующую функцию:

Анализируя эту функцию даже без проверки критерия Фишера, видно, что функция симметрична относительно определяющего вектора. Однако большим оказался эффект взаимодействия . Так как мы имеем дело с линейной аппроксимацией, рассмотрим крутое восхождение. Для этого из указанной регрессионной зависимости выносим коэффициенты регрессии. Для дальнейшего продвижения эмпирически устанавливаем для шаг, равный 5. И так как теоретический шаг был 0,203, то находим 0,203/5 = А и с учетом этого пересчитываем шаги для ,и:и т.д.

Указанный скорректированный шаг изменения носит приблизительный характер, так как используя линейную аппроксимацию мы проходим участки, далекие от оптимума. В связи с приблизительностью, этот шаг может быть округлен для простоты расчетов. Подставив указанные ,,ив модель, мы получим соответствующий у.Пятый опыт проводить нельзя, потому что по условию технологии параметр не может быть нулем. В связи с тем, что отклик увеличивается, и приостановление крутого восхождения связано с выходом на край интервала, было принято решение провести третью серию опытов.

Нулевой уровень – результат 4-го опыта из серии крутого восхождения. Так как в предыдущих сериях мы подошли к границам переменных и, то в новой серии интервалы варьирования иостаются неизменными, а интервалы варьирования иуменьшены. Результаты и матрица планирования эксперимента по третьей серии опытов будет иметь следующий вид:

					у
Основной уровень	7	50	0,3	7
Интервал варьирования	2	10	0,1	5
Верхний уровень	9	60	0,4	12
Нижний уровень	5	40	0,2	2
Кодовое обозначение					у
Опыт № 1 Опыт № 2 Опыт № 3 Опыт № 4 Опыт № 5 Опыт № 6 Опыт № 7 Опыт № 8	-	-	-	-	0,0297
	+	-	+	-	5,365
	-	-	+	+	0, 3995
	-	+	-	+	0,6077
	+	+	-	-	21,45
	+	-	-	+	8,93
	-	+	+	-	0,3505
	+	+	+	+	16,25
Коэффициенты регрессии	6,262	2,967	-1,136	-0,151
* коэффициент варьирования	12,522	29,67	-0,1136	-0,755
Шаг соотв. изменения на 3	1,266	3	-0,011	-0,076
Округление	1,3	3	-0,01	-0,1
Опыт № 1	8,3	53	0,29	6,9	44
Опыт № 2	9,6	56	0,28	6,8	160
Опыт № 3	10,9	59	0,27	6,7	303,3
Опыт № 4	12,2	62	0,26	6,6	276,4

Результаты 3-ей серии опытов, где использовалась полуреплика с тем же самым определяющим контрастом, что и в первых двух, дали следующую аппроксимирующую функцию:

Здесь свободный член на порядок выше, чем в предыдущей серии опытов, что указывает на удачно выбранные условия для третьей серии опытов. Все линейные коэффициенты сохранили свои знаки, следовательно область оптимального значения не пройдена. Коэффициенты регрессии при не линейных членах существенно превышают ошибки их определения, но вклад их значительно ниже, чем вклад, вносимый линейными членами. Это обстоятельство позволило наметить серию опытов для движения в направлении градиента линейного приближения.

В третьем из опытов значение отклика достигло 303,3, что по-видимому означает, что мы попали в почти стационарную область, для описания которой следует пользоваться полиномами 2-го порядка.

Вывод: нельзя утверждать, что на каждом опыте исследования принимались верные решения, но тем не менее, после 3-х серий опытов, значение отклика было увеличено более чем на 4 порядка.

Невосприимчивость градиента к изменению масштабности позволила дважды изменить стратегию исследования: сжимая и растягивая поверхность отклика по некоторой из переменных х. Т.о. мы вышли почти в стационарную область.