4.3. Вынужденные колебания в lcr-контуре

Для того, чтобы поддерживать колебания в LCR-контуре, необходимо пополнять запасы энергии, непрерывно рассеиваемой в виде тепла на сопротивлении . Это можно с помощью воздействия на контур внешней периодической электродвижущей силы (рис. 4.5). При этом в контуре возникнут вынужденные колебания. Будем рассматривать синусоидальную ЭДС, т.е. ЭДС, зависящую от времени по закону синуса (или косинуса):

,

где  циклическая частота колебаний ЭДС.

Согласно второму правилу Кирхгофа сумма падений напряжений на отдельных элементах контура равна внешней ЭДС:

.

Обозначая и учитывая, что , , получим

. (4.18)

Уравнение (4.18) называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний под действием синусоидальной ЭДС.

С точки зрения математики уравнение (4.18) представляет собой линейное неоднородное (правая часть отлична от нуля) дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Решение данного уравнения представляет собой сумму двух слагаемых

.

Первое слагаемое – общее решение однородного уравнения (с правой частью, равной нулю), второе слагаемое – частное решение неоднородного уравнения. Первое слагаемое в точности совпадает с уравнением (4.13) и представляет собой затухающие колебания заряда конденсатора с циклической частотой . Второе слагаемое соответствует собственным вынужденным колебаниям заряда с циклической частотой вынуждающей силы . Таким образом, в начальный момент времени колебания представляют собой сумму колебаний с частотами и . Такой режим колебаний называется переходным. Первое слагаемое экспоненциально затухает за время по порядку величины, равное времени затухания . Переходный режим заканчивается и наступает режим установившихся вынужденных колебаний с частотой вынуждающей силы

. (4.19)

Характеристики вынужденных колебаний и  зависят, во-первых, от параметров вынуждающей силы и , во-вторых, от параметров самой колебательной системы и , но не зависят от начальных условий. Подставляя функцию (4.19) в уравнение (4.18), можно найти выражение для амплитуды вынужденных колебаний и величины . Опуская математические выкладки, приведём конечные результаты:

, (4.20)

. (4.21)

График зависимости (4.20), показанный на рис. 4.6, называется резонансной кривой. Резонансная кривая имеет мак­симум. Максимальное значение амплитуды установившихся коле­баний достигается при резо­нанс­ной частоте , кото­рая при небольшом затухании мало отличается от собственной циклической частоты колебаний системы . Таким образом, резонанс наступает при условии совпадения частоты внешней синусоидальной силы и собственной частоты колебательной системы . Кривая 1 на рис. 4.6 относится к колебательной системе с меньшим затуханием. Чем меньше коэффициент затухания, тем ближе резонансная частота к собственной частоте системы и больше значение максимальной амплитуды, т.е. острее и уже пик резонансной кривой. Отметим, что ширина максимума на уровне равна коэффициенту затухания: .

Пример 4.3. Вывести формулу для величин резонансной частоты и максимальной амплитуды B_max (рис. 4.6).

Решение. Для того чтобы найти точку максимума резонансной кривой, нужно в соответствии с правилами математики взять производную функции (4.20) и приравнять её к нулю: . В результате получится .

Далее, подставляя значение в формулу 4.20, получим , где  циклическая частота затухающих колебаний.

Если частота внешней силы , то значение амплитуды по формуле (4.20) , что соответствует статическому заряду конденсатора, приобретаемому при подключении его к постоянной ЭДС .

Отношение резонансной амплитуды к величине статического отклонения колебательной системы называется добротностью колебательной системы .

Используя формулы для и (см. пример 4.3), а также связь циклической частоты с периодом колебаний , получим:

.

Поскольку  логарифмический декремент затухания, то:

. (4.22)

Чем меньше декремент затухания, тем выше добротность контура, и тем более он пригоден для радиотехники.

Далее мы покажем, что добротность контура пропорциональна отношению энергии, запасённой в контуре, к её потерям за период колебаний (т.е. энергии, выделяющейся в контуре за период в виде тепла).