3.17. Теорема о циркуляции магнитного поля в веществе. Напряженность магнитного поля

В целях ясности изложения материала будем рассматривать только изотропные среды, свойства которых не зависят от направления. В этих средах магнитная проницаемость не зависит от направления внешнего поля. И, кроме того, вектор намагниченности в каждой точке параллелен вектору магнитной индукции поля.

Вновь обратимся к рис. 3.27. Полный магнитный момент сердечника, обусловленный током намагничивания: , где  площадь поперечного сечения сердечника. Тогда величина вектора намагниченности (см. формулу 3.41)

,

где  длина сердечника,  его объём. В п. 3.6 (см. формулу 3.17) было введено понятие линейной плотности поверхностного тока . Величина представляет собой как раз ток намагничивания, приходящийся на единицу длины сердечника, или линейную плотность тока намагничивания . Таким образом, величина вектора намагниченности сердечника равна линейной плотности тока намагничивания: . Заметим, что и размерность вектора намагниченности такая же, как и размерность линейной плотности тока  .

Полный ток намагничивания, текущий по боковой поверхности сердечника, можно выразить через величину вектора намагниченности:

. (3.42)

Формулу (3.42) можно обобщить и доказать следующее утверждение. Полный ток намагничивания, пронизывающий произвольную поверхность , натянутую на замкнутый контур представляет собой циркуляцию вектора намагничивания по контуру :

(3.42,а)

Теперь перейдём к теореме о циркуляции магнитного поля. Ранее она уже была сформулирована в п. 3.7 для поля в вакууме (см. формулу 3.20). Напомним, что циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру определяется суммарным током , пронизывающим произвольную поверхность , натянутую на контур :

.

В веществе кроме токов проводимости текут молекулярные токи или токи намагничивания. Поэтому теорему о циркуляции нужно «поправить», учитывая, что поверхность , кроме тока проводимости , может пронизывать и некоторый суммарный ток намагничивания :

. (3.43)

Рассчитать суммарный ток намагничивания порой бывает достаточно сложно и в общем случае это можно сделать по формуле (3.42,а). Но наличие токов намагничивания и, как следствие, изменение магнитного поля в среде можно учесть и другим образом. В среде поле в раз больше, чем в вакууме, поэтому теорему о циркуляции можно «поправить» и так:

(ещё раз подчеркнем, что наличие токов намагничивания учитывается домножением правой части уравнения на ). Отсюда следует:

.

Для описания магнитного поля в веществе удобно ввести вспомогательный вектор:

, (3.44)

который называется напряженностью магнитного поля. Таким образом определить напряженность магнитного поля можно только в случае изотропных сред, где вектора и параллельны. В общем случае напряженность магнитного поля определяется как (см. уравнение (3.46)).

Теорема о циркуляции может быть представлена в виде:

. (3.45)

Формула (3.45) и выражает собой теорему о циркуляции для магнитного поля в веществе: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному контуру L равна суммарному току проводимости, пронизывающему произвольную поверхность S, натянутую на контур L.

Эта теорема показывает, что величина вектора напряженности определяется только токами проводимости, т.е. токами свободных зарядов, текущих по проводам, и не зависит от среды. Тот факт, что при определении вектора напряженности можно не обращать внимания на наличие вещества и не выполнять сложный расчёт молекулярных токов оправдывает целесообразность введения величины . Определив и зная магнитную проницаемость среды , можно легко определить вектор индукции магнитного поля

.

Пример 3.15. Определить магнитное поле, создаваемое прямым бесконечным проводом с током в среде с магнитной проницаемостью .

Решение. Решение данного примера в точности напоминает решение примера 3.6, в котором было определено поле бесконечного провода в вакууме. Только на сей раз нужно воспользоваться теоремой о циркуляции магнитного поля в среде и сначала определить напряженность магнитного поля. Согласно этой теореме при определении напряженности магнитного поля нужно учитывать лишь токи проводимости, а на молекулярные токи, т.е. вообще на присутствие среды, можно внимания не обращать:

.

Тогда для вектора магнитной индукции получаем:

. (3.14,а)

Результат (3.14,а) отличается от результата (3.14) лишь множителем , т.е. поле в среде отличается от поля в вакууме в раз.

Пример 3.16. Найти магнитное поле внутри соленоида длиной , числом витков и током , если внутри него находится сердечник с магнитной проницаемостью .

Решение. Решение этого примера аналогично решению примера 3.7. Применение теоремы о циркуляции для магнитного поля в среде даёт результат:

,

откуда следует:

(3.18,а)

Как и в примере 3.14, формула для поля в среде отличается от соответствующей формулы для поля в вакууме множителем .

Конечно, результаты примеров 3.15 и 3.16 были предсказуемы, поскольку мы уже говорили о том, что в среде магнитное поле изменяется в раз по сравнению с вакуумом.

Наконец, отметим, что, используя формулу (3.18,а), можно доказать, точно так же, как это было сделано в п. 3.9, что индуктивность соленоида с сердечником в раз отличается от его индуктивности без сердечника:

. (3.24,а)

Для увеличения индуктивности нужно использовать ферромагнитные сердечники.

Пример 3.17. Вывести выражение для объемной плотности энергии магнитного поля катушки с током .

Решение. Решение этого примера аналогично выводу формулы (1.33) для плотности энергии электрического поля плоского конденсатора. Объемная плотность энергии: , где - энергия магнитного поля катушки с током, - объем катушки. Далее используя формулы (3.31), (3.24а), (3.18а), (3.44) получим (соответствующие выкладки сделайте самостоятельно):

(3.31а)

Отметим, что выражение (3.31а) для плотности энергии магнитного поля, полученное для катушки с током, справедливо и в других случаях, т.е. является универсальным, так же как и выражение (1.33) для плотности энергии электрического поля.

Вектор намагниченности среды в некоторой области пространства можно выразить через вектора и . Если в уравнении (3.43) суммарный ток намагничивания заменить выражением (3.42, а), то получим

.

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (3.45), находим, что или

. (3.46)

Учитывая связь (3.44) между векторами и , из уравнения (3.46) можно получить уравнение, связывающие векторы и :

или

, (3.47)

где величина называется магнитной восприимчивостью среды. В парамагнетиках , в диамагнетиках , в ферромагнетиках значения столь же велики, что и значения .

Предоставляем читателям самостоятельно найти связь между векторами и :

. (3.48)

В изотропных средах, как показывают уравнения (3.44), (3.47) и (3.48) все три вектора , и попарно зависимы и параллельны друг другу. Качественно это можно объяснить тем, намагниченность в каждой точке среды возникает под воздействием внешнего магнитного поля, и магнитные моменты атомов поворачиваются параллельно внешнему магнитному полю, т.е. направлению вектора .