4.3. Вынужденные колебания в lcr-контуре

Для того, чтобы поддерживать колебания вLCR-контуре, необходимо пополнять запасы энергии, непрерывно рассеиваемой в виде тепла на сопротивлении. Это можно с помощью воздействия на контур внешней периодической электродвижущей силы (рис. 4.5). При этом в контуре возникнут вынужденные колебания. Будем рассматривать синусоидальную ЭДС, т.е. ЭДС, зависящую от времени по закону синуса (или косинуса):

,

где циклическая частота колебаний ЭДС.

Согласно второму правилу Кирхгофа сумма падений напряжений на отдельных элементах контура равна внешней ЭДС:

.

Обозначая и учитывая, что,, получим

. (4.18)

Уравнение (4.18) называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний под действием синусоидальной ЭДС.

С точки зрения математики уравнение (4.18) представляет собой линейное неоднородное (правая часть отлична от нуля) дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Решение данного уравнения представляет собой сумму двух слагаемых

.

Первое слагаемое – общее решение однородного уравнения (с правой частью, равной нулю), второе слагаемое – частное решение неоднородного уравнения. Первое слагаемое в точности совпадает с уравнением (4.13) и представляет собой затухающие колебания заряда конденсатора с циклической частотой . Второе слагаемое соответствует собственным вынужденным колебаниям заряда с циклической частотой вынуждающей силы. Таким образом, в начальный момент времени колебания представляют собой сумму колебаний с частотамии. Такой режим колебаний называетсяпереходным. Первое слагаемое экспоненциально затухает за время по порядку величины, равное времени затухания. Переходный режим заканчивается и наступает режимустановившихся вынужденных колебаний с частотой вынуждающей силы

. (4.19)

Характеристики вынужденных колебаний изависят, во-первых, от параметров вынуждающей силыи, во-вторых, от параметров самой колебательной системыи, но не зависят от начальных условий. Подставляя функцию(4.19) в уравнение (4.18), можно найти выражение для амплитуды вынужденных колебанийи величины. Опуская математические выкладки, приведём конечные результаты:

, (4.20)

. (4.21)

График зависимости (4.20), показанный на рис. 4.6, называетсярезонансной кривой. Резонансная кривая имеет мак­симум. Максимальное значение амплитуды установившихся коле­баний достигается при резо­нанс­ной частоте, кото­рая при небольшом затухании мало отличается от собственной циклической частоты колебаний системы. Таким образом, резонанс наступает при условии совпадения частоты внешней синусоидальной силы и собственной частоты колебательной системы. Кривая 1 на рис. 4.6 относится к колебательной системе с меньшим затуханием. Чем меньше коэффициент затухания, тем ближе резонансная частота к собственной частоте системы и больше значение максимальной амплитуды, т.е. острее и уже пик резонансной кривой. Отметим, что ширина максимума на уровнеравна коэффициенту затухания:.

Пример 4.3. Вывести формулу для величин резонансной частоты и максимальной амплитудыB_max (рис. 4.6).

Решение. Для того чтобы найти точку максимума резонансной кривой, нужно в соответствии с правилами математики взять производную функции(4.20) и приравнять её к нулю:. В результате получится.

Далее, подставляя значение в формулу 4.20, получим, гдециклическая частота затухающих колебаний.

Если частота внешней силы , то значение амплитуды по формуле (4.20), что соответствует статическому заряду конденсатора, приобретаемому при подключении его кпостояннойЭДС.

Отношение резонансной амплитуды к величине статического отклонения колебательной системыназываетсядобротностью колебательной системы.

Используя формулы для и(см. пример 4.3), а также связь циклической частоты с периодом колебаний, получим:

.

Поскольку логарифмический декремент затухания, то:

. (4.22)

Чем меньше декремент затухания, тем выше добротность контура, и тем более он пригоден для радиотехники.

Далее мы покажем, что добротность контура пропорциональна отношению энергии, запасённой в контуре, к её потерям за период колебаний (т.е. энергии, выделяющейся в контуре за период в виде тепла).