3.17. Теорема о циркуляции магнитного поля в веществе. Напряженность магнитного поля

В целях ясности изложения материала будем рассматривать только изотропныесреды, свойства которых не зависят от направления. В этих средах магнитная проницаемостьне зависит от направления внешнего поля. И, кроме того, вектор намагниченности в каждой точке параллелен вектору магнитной индукции поля.

Вновь обратимся к рис. 3.27. Полный магнитный момент сердечника, обусловленный током намагничивания: , гдеплощадь поперечного сечения сердечника. Тогда величина вектора намагниченности (см. формулу 3.41)

,

где длина сердечника,его объём. В п. 3.6 (см. формулу 3.17) было введено понятие линейной плотности поверхностного тока. Величинапредставляет собой как раз ток намагничивания, приходящийся на единицу длины сердечника, или линейную плотность тока намагничивания. Таким образом,величина вектора намагниченности сердечника равна линейной плотности тока намагничивания: . Заметим, что и размерность вектора намагниченности такая же, как и размерность линейной плотности тока.

Полный ток намагничивания, текущий по боковой поверхности сердечника, можно выразить через величину вектора намагниченности:

. (3.42)

Формулу (3.42) можно обобщить и доказать следующее утверждение. Полный ток намагничивания, пронизывающий произвольную поверхность , натянутую на замкнутый контурпредставляет собой циркуляцию вектора намагничивания по контуру:

(3.42,а)

Теперь перейдём к теореме о циркуляции магнитного поля. Ранее она уже была сформулирована в п. 3.7 для поля в вакууме (см. формулу 3.20). Напомним, что циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру определяется суммарным током, пронизывающим произвольную поверхность, натянутую на контур:

.

В веществе кроме токов проводимости текут молекулярные токи или токи намагничивания. Поэтому теорему о циркуляции нужно «поправить», учитывая, что поверхность , кроме тока проводимости, может пронизывать и некоторый суммарный ток намагничивания:

. (3.43)

Рассчитать суммарный ток намагничивания порой бывает достаточно сложно и в общем случае это можно сделать по формуле (3.42,а). Но наличие токов намагничивания и, как следствие, изменение магнитного поля в среде можно учесть и другим образом. В среде поле в раз больше, чем в вакууме, поэтому теорему о циркуляции можно «поправить» и так:

(ещё раз подчеркнем, что наличие токов намагничивания учитывается домножением правой части уравнения на ). Отсюда следует:

.

Для описания магнитного поля в веществе удобно ввести вспомогательный вектор:

, (3.44)

который называется напряженностью магнитного поля. Таким образом определить напряженность магнитного поля можно только в случае изотропных сред, где вектора ипараллельны. В общем случае напряженность магнитного поля определяется как(см. уравнение (3.46)).

Теорема о циркуляции может быть представлена в виде:

. (3.45)

Формула (3.45) и выражает собой теорему о циркуляции для магнитного поля в веществе: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному контуру L равна суммарному току проводимости, пронизывающему произвольную поверхность S, натянутую на контур L.

Эта теорема показывает, что величина вектора напряженности определяется только токами проводимости, т.е. токами свободных зарядов, текущих по проводам, и не зависит от среды. Тот факт, что при определении вектора напряженности можно не обращать внимания на наличие вещества и не выполнять сложный расчёт молекулярных токов оправдывает целесообразность введения величины . Определиви зная магнитную проницаемость среды, можно легко определить вектор индукции магнитного поля

.

Пример 3.15. Определить магнитное поле, создаваемое прямым бесконечным проводом с токомв среде с магнитной проницаемостью.

Решение. Решение данного примера в точности напоминает решение примера 3.6, в котором было определено поле бесконечного провода в вакууме. Только на сей раз нужно воспользоваться теоремой о циркуляции магнитного поля в среде и сначала определить напряженность магнитного поля. Согласно этой теореме при определении напряженности магнитного поля нужно учитывать лишь токи проводимости, а на молекулярные токи, т.е. вообще на присутствие среды, можно внимания не обращать:

.

Тогда для вектора магнитной индукции получаем:

. (3.14,а)

Результат (3.14,а) отличается от результата (3.14) лишь множителем , т.е. поле в среде отличается от поля в вакууме враз.

Пример 3.16. Найти магнитное поле внутри соленоида длиной , числом виткови током, если внутри него находится сердечник с магнитной проницаемостью.

Решение. Решение этого примера аналогично решению примера 3.7. Применение теоремы о циркуляции для магнитного поля в среде даёт результат:

,

откуда следует:

(3.18,а)

Как и в примере 3.14, формула для поля в среде отличается от соответствующей формулы для поля в вакууме множителем .

Конечно, результаты примеров 3.15 и 3.16 были предсказуемы, поскольку мы уже говорили о том, что в среде магнитное поле изменяется в раз по сравнению с вакуумом.

Наконец, отметим, что, используя формулу (3.18,а), можно доказать, точно так же, как это было сделано в п. 3.9, что индуктивность соленоида с сердечником в раз отличается от его индуктивности без сердечника:

. (3.24,а)

Для увеличения индуктивности нужно использовать ферромагнитные сердечники.

Пример 3.17. Вывести выражение для объемной плотности энергии магнитного поля катушки с током .

Решение. Решение этого примера аналогично выводу формулы (1.33) для плотности энергии электрического поля плоского конденсатора. Объемная плотность энергии: , где- энергия магнитного поля катушки с током,- объем катушки. Далее используя формулы (3.31), (3.24а), (3.18а), (3.44) получим (соответствующие выкладки сделайте самостоятельно):

(3.31а)

Отметим, что выражение (3.31а) для плотности энергии магнитного поля, полученное для катушки с током, справедливо и в других случаях, т.е. является универсальным, так же как и выражение (1.33) для плотности энергии электрического поля.

Вектор намагниченности среды в некоторой области пространства можно выразить через вектораи. Если в уравнении (3.43) суммарный ток намагничивания заменить выражением (3.42, а), то получим

.

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (3.45), находим, что или

. (3.46)

Учитывая связь (3.44) между векторами и, из уравнения (3.46) можно получить уравнение, связывающие векторыи:

или

, (3.47)

где величина называетсямагнитной восприимчивостьюсреды. В парамагнетиках, в диамагнетиках, в ферромагнетиках значениястоль же велики, что и значения.

Предоставляем читателям самостоятельно найти связь между векторами и:

. (3.48)

В изотропных средах, как показывают уравнения (3.44), (3.47) и (3.48) все три вектора ,ипопарно зависимы и параллельны друг другу. Качественно это можно объяснить тем, намагниченность в каждой точке среды возникает под воздействием внешнего магнитного поля, и магнитные моменты атомов поворачиваются параллельно внешнему магнитному полю, т.е. направлению вектора.