Входящий сигнал X(z) пройдя через каждый фильтр, преобразуется в два сигнала
Y1 (z) H1 (z)X (z), Y2 (z) H2 (z)X (z) (78)
Эти сигналы потом складываются, образуя результирующий сигнал.
|
Y (z) Y1 (z) Y2 (z) |
(79) |
Подставляя формулы (79) в сумму (79) получаем. |
|
|
|
Y (z) H1 (z) H2 (z) X (z) |
(80) |
Подставляем (80) в выражение (74), и получаем |
|
|
|
|
|
|
H (z) H1 (z) H2 (z) |
(81) |
51
3. Соединение фильтров с обратной связью. На рисунке показано соединение фильтров с обратной связью.
X (z) |
H1 (z) |
Y (z) |
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
h1 (n) |
|
|
|
|
|
|
|
||
x(n) |
y(n) |
|||||
|
||||||
U (z) H2 (z) u(n) h2 (n)
52
Входящий сигнал X(z) складывается с выходящим сигналом U(z) со второго фильтра, а затем суммарный сигнал X(z) + U(z) поступает на первый фильтр. На выходе первого фильтра возникает выходящий сигнал Y(z) . Для первого фильтра напишем основное уравнение.
Y (z) H1 (z) X (z) U (z) (82)
Выходящий сигнал Y(z) одновременно является входящим для второго фильтра. Поэтому основное уравнение для второго фильтра будет иметь вид.
U (z) H2 (z)Y (z) |
(83) |
53
Подставим выражение (83) в формулу (82).
Y (z) H1 (z) X (z) H2 (z)Y (z) (84)
Раскроем скобки в уравнении (84) и выразим выходящий сигнал Y(z) через входящий сигнал X(z). В результате получим.
Y (z) |
H1 (z) |
X (z) |
(85) |
1 H1 (z)H2 (z) |
|||
|
|
|
Подставляем (85) в выражение (74), и получаем
H (z) |
H1 (z) |
|
|
(86) |
1 H1 (z)H2 |
(z) |
54 |
||
|
|
|
|
|
Структурные схемы ЛДФ
Линейный дискретный фильтр определяется своим основное разностным уравнением.
M |
N |
y(n) am y(n m) bk x(n k) (87) |
|
m 1 |
k 0 |
Мы видим, что в уравнении (87) присутствуют операции умножения на коэффициенты am , и bk операции задержки на m,
n отсчетов. Поэтому схемы ЛДФ будем строить из двух простейших элементов.
Первый элемент осуществляет задержку на один отсчет. Уравнение такого элемента и его передаточная функция имеют следующий вид.
y(n) x(n 1), |
H (z) z 1 |
(88) |
55
Второй элемент – умножитель осуществляет умножение на заданное число. Уравнение такого элемента и его передаточная функция имеют следующий вид.
y(n) c x(n), H (z) c (89)
Прямая форма структурной схемы ЛДФ
Прямая форма структурной схемы фильтра создается непосредственно по разностному уравнению фильтра (87). На рисунке показана структурная схема фильтра соответствующая уравнению (87)
M |
N |
y(n) am y(n m) bk x(n k) |
|
m 1 |
k 0 |
56
x(n) |
|
|
x(n 1) |
|
x(n 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(n N ) |
|||||
|
z 1 |
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b0 |
|
b1 |
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bN 1 |
|
|
|
bN |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(n) |
|
aM |
|
a |
M 1 |
|
a |
2 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
y(n M ) |
z 1 |
y(n M 1) |
y(n 2) |
|
|
z 1 |
y(n 1) |
z 1 |
||
57
Далее отметим, что структурная схема может быть связана с передаточной функцией, если ее записать в виде.
|
N |
|
|
bk z k |
|
H (z) |
k 0 |
(90) |
M |
||
1 am z m |
|
|
m 1
Пример 8. Найти передаточную функцию для фильтра, структурная схема которого изображена на рисунке.
|
|
z 1 |
|
z 1 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|||
|
|
|
|
|||
0,4 |
|
z 1 |
58 |
Из этой структурной схемы мы получаем информацию о коэффициентах.
b0 |
1, |
b1 3, |
b2 |
2, |
a1 |
0.4 |
|
|
(91) |
|
|
|
Подставляя коэффициенты (91) в формулу (90), находим передаточную функцию.
1 3 z 1 2 z 2 |
|
z 2 3 z 2 |
(92) |
|
H (z) |
|
|
|
|
1 0.4z 1 |
z 2 0.4z |
|
||
59
Прямая каноническая форма ЛДФ
Прямая каноническая форма – это структурная схема, содержащая минимальное количество элементов задержки. Для ее получения представим передаточную функцию (90) как результат последовательного соединения фильтров. Введем обозначения.
N |
|
|
1 |
|
|
H1 (z) bk z k , |
H 2 (z) |
|
|
|
(93) |
|
M |
|
|||
k 0 |
1 |
am z |
m |
||
|
|
|
|||
|
|
|
m 1 |
|
|
Тогда формула (90) примет вид.
H (z) H1 (z)H 2 |
(z) |
(94) |
|
|
60