нейный дискретный фильтр и Z – преобразован
x(n) |
|
y(n) |
|
h(n) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
На этой схеме показаны входящий сигнал x(n) , импульсная характеристика h(n) и выходящий сигнал y(n).
Как нам уже известно, выходящий сигнал является сверткой импульсной характеристики и входящего сигнала.
y(n) h(n) x(n) |
(41) |
В развернутом виде свертка (41) представляется в виде следующих сумм.
|
|
|
y(n) h(k) x(n k) x(k) h(n k) (42) |
|
|
k 0 |
k 0 |
31 |
|
|
|
Передаточная функция ЛДФ
Найдем Z - преобразование свертки (41). Для этого учтем что, Z – преобразование свертки двух последовательностей равно произведению Z – преобразований этих последовательностей. В результате получаем
Y (z) H (z) X (z) (43)
Здесь функция H(z) является Z - образом импульсной характеристики h(n) линейного дискретного фильтра.
32
Определение. Передаточной функцией ЛДФ является Z
- образ импульсной характеристики h(n) фильтра. Передаточная функция равна отношению Z – образов выходной и входной последовательностей.
Y (z) |
|
H (z) X (z) |
(44) |
|
Пример 3. По заданным входным и выходным последовательностям найти передаточную функцию фильтра. Пусть входящая и выходящая последовательности имеют вид
x(n) 1,0,1, 2,0,0,0, , |
(45) |
|
y(n) 0,1, 2,3,0,0,0, |
||
|
33
В выражениях (45) предполагается, что, начиная с номера n=4 все элементы последовательностей равны нулю. Найдем Z - образы этих последовательностей.
|
|
X (z) x(n) z n 1 0 z 1 1z 2 2 z 3 1 z 2 2 z 3 |
(46) |
n 0 |
Y (z) y(n) z n 0 1z 1 2 z 2 3 z 3 z 1 2 z 2 3 z 3
n 0
Используя формулу (44) находим передаточную функцию ЛДФ.
|
Y (z) |
|
z 1 2 z 2 3 z 3 |
|
z 2 2 z 3 |
|
|
H (z) X (z) |
1 z 2 2 z 3 |
z |
3 z 2 |
(47) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
34
сновное уравнение ЛДФ и передаточная функци
Основное разностное уравнение линейного дискретного фильтра имеет вид.
M |
N |
y(n) am y(n m) bk x(n k) (48) |
|
m 1 |
k 0 |
В разностном уравнении (48) переходи к Z - образам. При этом учитываем свойство задержки последовательности. В нашем случае это приводит к следующим соотношениям
y(n) Y (z), |
(49) |
|
y(n m) z mY (z), |
||
|
||
x(n k) z k X (z) |
|
35
В результате разностное уравнение превращается в уравнение для Z - образов.
M |
N |
(50) |
Y (z) am z mY (z) bk z k X (z) |
||
m 1 |
k 0 |
|
Решаем уравнение (50). В суммах (50) Z – образы выносим за знак суммы. Члены с Y(z) переносим налево, члены с X(z) направо.
|
M |
|
N |
|
Y (z) 1 am z |
|
X (z) bk z |
k (51) |
|
|
|
m |
|
|
|
m 1 |
|
k 0 |
|
36
Далее, из (51) получаем отношение Z – образов.
|
|
N |
|
Y (z) |
|
bk z k |
|
|
k 0 |
(52) |
|
X (z) |
M |
||
1 am z m |
|
||
m 1
С другой стороны, это отношение равно переходной функции ЛДФ.
|
N |
|
|
bk z k |
|
H (z) |
k 0 |
(53) |
M |
||
1 am z m |
|
|
m 1
Таким образом, мы получаем формулу, которая позволяет
вычислять переходную функцию, через коэффициенты
основного разностного уравнения ЛДФ.
37
Пример 4. На прошлой лекции мы рассматривали рекурсивный фильтр, который описывался следующим разностным уравнением.
y(n) a y(n 1) x(n) (54)
Найдем передаточную функцию это фильтра. Сравнивая уравнение (54) с общим уравнением ЛДФ (48),
получаем
M 1, N 0,
a1 a, |
b0 1 |
Подставляем (55) в общую формулу (53) для вычисления переходной функции ЛДФ. В результате получаем переходную функцию для нашего фильтра
H (z) |
1 |
|
|
z |
|
(56) |
|
1 |
z |
a |
|||
1 a z |
|
|
38 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5. Найти передаточную функцию для ЛДФ, описываемого разностным уравнением.
y(n) 2 y(n 1) y(n 2) x(n) x(n 1) (57)
Сравнивая уравнение (57) с общим уравнением ЛДФ (48), получаем:
M 2, |
N 1, |
|
(58) |
a1 2, |
a2 1, |
b0 1, |
b1 1 |
39
Подставляем (58) в общую формулу (53) для вычисления переходной функции ЛДФ. В результате получаем переходную функцию для нашего фильтра:
H (z) |
1 z 1 |
|
|
z2 z |
|
||||
1 2 z 1 z 2 |
z2 2 z 1 |
|
|||||||
|
z(z 1) |
|
z |
|
(59) |
||||
|
|||||||||
|
z 1 |
|
|||||||
|
(z 1)2 |
|
|||||||
40