Пример 6. Найти импульсную характеристику ЛДФ, рассмотренного в примере 5.
Для нахождения импульсной характеристики h(n) по найденной переходной функции H(z) используем теорему вычетов. Так как переходная функция H(z) является Z - образом последовательности h(n) , то справедлива формула.
h(n) |
1 |
n 1 |
d z, n 0,1, |
|
2 i H (z)z |
|
(60) |
||
|
|
|
|
Далее, чтобы вычислить контурные интегралы (60) в комплексной плоскости используем теорему вычетов, математическое выражение которой имеет вид.
1 |
|
N |
|
|
f (z) d z выч f (z), zk |
(61) |
|
2 i |
k 1 |
41 |
|
|
|
|
|
В нашем случае функция f(z) будет равна.
f (z) H (z) z |
n 1 |
|
zn |
|
|
|
(62) |
||
|
|
|||
|
z 1 |
|||
Функция f(z) имеет одну особую точку z = -1. Поэтому импульсная характеристика (n) будет равна вычету функции f(z) в этой точке.
h(n) выч f (z), 1 |
(63) |
Особая точка z = -1 , является полюсом первого порядка m = 1 . Поэтому вычет (63) будет вычисляться по формуле.
выч f (z), zk lim f (z) z zk (64) |
|
z zk |
42 |
|
В результате находим импульсную характеристику ЛДФ.
|
zn |
|
|
|
h(n) выч f (z), 1 lim |
|
|
z 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
(65) |
z 1 z 1 |
|
|||
lim zn 1 n
z 1
Пример 7. Найти отклик фильтра, рассмотренного в примерах 5, 6 , на входной сигнал следующего вида.
x(n) 3n , |
n 0,1, |
(66) |
|
|
Сначала найдем Z - преобразование для входного сигнала (66)
|
n |
|
n |
z |
n |
|
3 |
n |
(67) |
X (z) x(n) z |
|
3 |
|
|
|
|
|||
n 0 |
|
n 0 |
|
|
|
n 0 |
z |
|
|
43
Последняя сумма в (67) является суммой бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Для геометрической прогрессии имеет место формула:
|
n |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
q 1 q q |
|
|
|
, |
|
q |
|
1 |
(68) |
||
|
|
|
|
|
|||||||
n 0 |
|
|
1 |
q |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Применяем формулу (68) для нахождения Z - образа входящего сигнала.
X (z) |
1 |
|
|
z |
, |
|
z |
|
3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
z 3 |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
z |
|
|
|
|
|
||||
(69)
44
Зная переходную функцию H(z) фильтра, найдем Z – образ Y(z) выходящего сигнала y(n) .
Y (z) H (z)X (z) |
z |
|
z |
|
|
z2 |
(70) |
|
z 1 |
z 3 |
(z 1)(z 3) |
||||||
|
|
|
||||||
Имея Z – образ Y(z) выходящего сигнала y(n) , можно восстановить этот сигнал с помощью теоремы вычетов.
В нашем случае функция f(z) будет равна.
f (z) Y (z) z |
n 1 |
|
zn 1 |
|
(z 1)(z 3) |
||||
|
|
|
|
(71) |
45
Функция (71) имеет две особые точки z = -1 и z = 3 , которые являются полюсами первого порядка. Применяя теорему вычетов, находим выходящий сигнал.
y(n) выч f (z), |
1 выч f (z), 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
zn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn 1 |
|
|
|
|
||
lim |
|
|
|
|
z 1 |
lim |
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(z 1)(z 3) |
|
|
|
|
|
|
|
(z 1)(z |
3) |
|
|
|
||||||
z 1 |
|
|
|
|
|
z 3 |
|
|
(72) |
||||||||||
|
z |
n 1 |
|
|
|
z |
n 1 |
|
|
|
1 |
n 1 |
n 1 |
|
|
||||
lim |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(z 3) |
|
|
|
(z 1) |
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
||||
z 1 |
|
z 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Окончательно получаем, формулу выходного сигнала:
y(n) |
1 n 3n 1 |
, |
n 0,1, |
(73) |
|
4 |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
46 |
Соединения линейных дискретных фильтро
Различают несколько основных соединений фильтров.
1. Последовательное соединение фильтров. Последовательное соединение фильтров показано на рисунке.
|
|
V (z) |
|
Y (z) |
X (z) |
H1 (z) |
H2 (z) |
||
x(n) |
h1 (n) |
V (n) |
h2 (n) |
y(n) |
|
|
|
|
|
47
На вход системы из двух фильтров подается сигнал x(n), X(z) . На выходе имеем сигнал y(n), Y(z). Переходная функция системы фильтров определяется формулой.
|
Y (z) |
|
||
H (z) X (z) |
(74) |
|||
|
|
|
||
На каждом фильтре имеется входящий и выходящий |
||||
|
||||
сигналы. Следую рисунку, для них можно написать |
|
|||
следующие соотношения. |
|
|
|
|
V (z) H1 (z)X (z), |
Y (z) H2 (z)V (z) (75) |
|||
Объединяя формулы (75) получаем:
Y (z) H2 (z)H1 (z)X (z) (76)
48
Подставляем (76) в выражение (74), и получаем
H (z) H2 (z)H1 (z) (77)
Таким образом, при последовательном соединении фильтров передаточная функция системы равна
произведению передаточных функций фильтров.
49
2. Параллельное соединение фильтров. Параллельное соединение фильтров показано на рисунке.
|
H1(z) |
|
|
|
|
||
X (z) |
h1 (n) |
|
|
|
Y (z) |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
x(n) |
|
|
|
|
|
y(n) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
H2 |
(z) |
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
h2 (n) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
50