6. Z – преобразование свертки. Z – преобразование свертки двух последовательностей равно произведению Z – преобразований этих последовательностей.
if
x1 (n) X1 (z), |
x2 (n) X 2 (z), |
x(n) x1 (n) x2 (n) |
then
x(n) X (z), where
X (z) X1 (z) X 2 (z)
11
Обращение Z – преобразования
Пусть известно Z – преобразование X(z) бесконечной последовательности x(n) .
|
|
X (z) x(n) z n |
(9) |
n 0
Тогда элементы этой последовательности могут быть найдены по ее Z - образу X(z) с помощью формулы.
1 |
n 1 |
|
|
(10) |
|
x(n) 2 i X (z)z |
d z, |
n 0,1, |
|||
|
|
||||
|
|
|
|
|
Здесь - произвольный замкнутый контур лежащий в
области аналитичности функции X(z) и охватывающий все ее особые точки. Кроме того, контур должен идти в
положительном направлении, т.е. против часовой стрелки.
12
На рисунке показан - контур, круг радиуса r , вне которого - образ является аналитической функцией. Так же на рисунке, для примера, показаны три особые точки внутри этого круга.
z1 z2
r
z3
13
Доказательство. Вспомним формулу определения коэффициентов ряда Лорана.
cn |
1 |
|
f (z) |
|
d z |
(11) |
|
2 i |
|
z0 |
n 1 |
|
|||
|
z |
|
|
|
|||
Ряд (9), определяющий Z – преобразование является частным случаем ряда Лорана, при следующих условиях.
c n x(n), |
z0 0, |
f (z) X (z) (12) |
После подстановки условий (12) в формулу (11) получаем искомое преобразование (10).
14
Теорема о вычетах
Для вычисления интегралов (10) удобно использовать теорему о вычетах.
Теорема 1. В курсе функций комплексного переменного
доказывается следующая теорема о вычетах. Пусть f(z) – аналитическая функция в некоторой области D , за исключением нескольких точек z1 , z2 , , zN, лежащих в этой области. Далее, если - замкнутый контур, целиком лежащий в области D и охватывающий эти точки, то тогда интеграл от функции f(z) по контуру выражается через сумму вычетов в этих точках.
1 |
|
N |
|
f (z) d z выч f (z), zk (13) |
|
2 i |
k 1 |
|
|
|
15 |
Вычеты находятся с помощью следующих формул. Пусть точка zk - является полюсом порядка m . Это означает, что функция f(z) имеет вид:
f (z) |
u(z) |
|
(14) |
|
z zk |
m |
|||
|
|
Здесь u(z) - аналитическая функция в области D . В этом случае вычет функции f(z) в точке zk находится взятием производной и переходом к пределу.
выч f (z), zk |
1 |
|
lim |
d |
m 1 |
f (z) z zk m (15) |
|
|
|
|
|||||
(m |
|
d z |
m 1 |
||||
|
1)! z zk |
|
|
||||
В формуле (15) вычисляется производная порядка m-1 . Восклицательный знак означает факториал
n! 1 2 3 n
16
В частности, для полюса первого порядка m=1 , формула (15) принимает простой вид.
выч f (z), zk zlimz f (z) z zk (16)
k
Чтобы использовать теорему о вычетах для вычисления интегралов (10), мы должны функцию f(z) заменить на следующую функцию.
f (z) X (z) z n 1 |
(17) |
17
Пример 1. Найти последовательность x(n) по ее Z - образу.
X (z) z2 |
z |
(18) |
||
1 |
||||
|
|
|
|
|
Функция f(z) в этом случае будет равна
f (z) X (z) z n 1 |
|
z n |
|
(19) |
||
z 2 |
1 |
|||||
|
|
|
||||
Чтобы найти полюсы функции (19), приравняем знаменатель к нулю.
z 2 1 0, |
z 2 1, |
z |
|
i |
1 |
18
Im Z
i
Re Z
i
Таким образом, функция f(z) имеет два полюса.
z1 i, |
z2 i |
19
Теперь воспользуемся теоремой о вычетах (13) для нашего случая.
x(n) |
1 |
|
2 i f (z) d z выч f (z), i выч f (z), i |
(19) |
|
|
|
Разложим знаменатель в функции (19) на элементарные множители.
f (z) |
z n |
(20) |
(z i)(z i) |
||
|
|
20