Лекции 8
Z – преобразование
Для решения разностных уравнений, удобно применять Z – преобразование.
Определение. Z – преобразованием числовой
последовательности
x(n), n 0,1,
является функция комплексной переменно X(z). Эта функция определяется следующим образом.
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z) x(n) z n , |
если |
|
z |
|
r, |
(1) |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||
X (z) |
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аналитическое продолжение (z) в круг |
|
z |
|
r |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь радиус круга определяется как верхний предел
r |
lim |
n |
|
x(n) |
|
(2) |
|
|
|||||
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
В дальнейшем, вместо подробного определения с помощью соотношений (1), будем изображать Z – преобразование следующей формулой
|
|
X (z) x(n) z n |
(3) |
n 0
2
При этом мы будем иметь в виду, что ряд (3) сходится снаружи круга |z| > r . Также снаружи этого круга Z- преобразование X(z) является аналитической функцией. Внутри же, этого круга |z| r Z-преобразование X(z) может иметь особые точки.
Напомним понятие аналитической функции комплексного переменного.
Функция комплексного переменного
f (z) u(x, y) iv(x, y), z x iy (4)
является аналитической в точке z , если в этой точке существует производная.
f (z) |
d |
f (z) lim |
f (z z) f (z) |
|
d z |
z |
|||
|
z 0 |
(5)
3
Необходимым и достаточным условием аналитичности функции являются условия Коши – Римана.
u(x, y) |
|
v(x, y) |
, |
u(x, y) |
|
v(x, y) |
(6) |
x |
y |
y |
x |
|
|||
|
|
|
|
В особых точках функция комплексного переменного, не является аналитической функцией.
Дальше Z – преобразование будем так же называть Z - образом числовой последовательности x(n) .Символически связь между последовательностью и ее Z - образом будем обозначать, так же как и для преобразования Фурье.
X (z) x(n)
4
Свойства Z – преобразования
1. Линейность. Линейной комбинации последовательностей, соответствует линейная комбинация Z – образов.
if
x1 (n) X1 (z), |
x2 (n) X 2 (z), |
x(n) a x1 (n) b x2 (n), |
then
x(n) X (z), where
X (z) a X1 (z) b X 2 (z)
5
2. Задержка последовательности. Задержка последовательности на N 0 отсчетов приводит к умножению Z – образа на множитель z в степени -N .
if
x(n) X (z), x1 (n) x(n N ), then
x1 (n) X1 (z), where
X1 (z) X z z N
6
3. Опережающий сдвиг последовательности. Опережающий сдвиг последовательности на M 0 отсчетов приводит к умножению Z – образа на множитель z в степени M , плюс линейная комбинация элементов последовательности.
if
x(n) X (z), x1 (n) x(n M ), then
x1 (n) X1 (z), where
X1 (z) X z zM x 0 zM x 1 zM 1 x M 2 z2 x M 1 z
7
4. Умножение последовательности на степенную функцию. Умножение последовательности на степенную функцию an приводит к уменьшению аргумента Z – образа в a раз.
if |
|
|
|
x(n) X (z), |
x (n) an x(n), |
||
|
|
|
1 |
then |
|
|
|
x1 (n) X1 (z), |
|
||
where |
|
|
|
|
z |
|
|
X1 (z) X |
|
|
|
|
|
||
a |
|
||
8
5. Умножение последовательности на номер элементов. Умножение последовательности на номер элементов последовательности n приводит к взятию производной от Z – образа с умножением на -z .
if |
|
|
|
x(n) X (z), |
x1 (n) n x(n), |
||
then |
|
|
|
x1 (n) X1 (z), |
|||
where |
|
|
|
X1 (z) z |
d |
X z |
|
d z |
|||
|
|
||
9
Определение. Под сверткой двух бесконечных последовательностей x1 (n) и x2 (n) будем понимать третью последовательность x(n) , элементы которой определяются по следующей формуле.
|
|
x(n) x1 (k)x2 (n k) x2 (k)x1 (n k) (7) |
|
k 0 |
k 0 |
Для свертки будем использовать следующее обозначение.
x(n) x1 (n) x2 |
(n) |
(8) |
|
|
10