06-09-2014_00-25-24 (1) / Лекция 2
.docxЛекция №2.
[
dV]=
+ div(
ω)]dV=
+
ω
+
div(
,ω)
+
ωdiv
=
dV+
dS=
dV+
dV=>
=
+div
-
уравнение Навье-Стокса в векторной
форме
=
-P
Характеристика жидкости по диаграмме сдвига.
=>
=µ
- закон внутреннего трения Ньютона.
m<1
m<1
=
m=1
m>1
m>1 –дилатантные; m<1- псевдопластичные; m=1 - ньютоновские жидкости.
=
=
µ
=
=
-кажущийся
коэффициент динамической вязкости.
=
+µ
-
бингамовские жидкости
=
+
+
+
+
+
+
+
f(x)
f(y)
f(z)
[
+
+
+
]=
-
+
+
+
=
-
+
+
µ[
+
- проекция на ось
х
[
+
+
+
]=
-
+
+
+
=
-
+
+
µ[
+
- проекция на ось y
[
+
+
+
]=
-
+
+
+
=
-
+
+
µ[
+
- проекция на ось z
+div(
ω)=0-
уравнение неразрывности
Ρ=f(ρi) - уравнение состояния системы.
Данная система из 5 уравнений в декартовой системе координат- основное уравнение гидродинамики. Число неизвестных (ωx, ωy, ωz, ρi, P)- 5 равно числу записанных уравнений. Система замкнута. Требуется только запись условий однозначности (краевых условий: начальных и граничных).
Физический смысл: баланс сил- закон сохранения механической энергии системы.
Гидростатика
Система находящаяся
в состоянии покоя или равномерного
движения является статической, т.е.
,
,
=0
=
*dx
=
*dy
-система уравнений Эйлера
=
*dz
(
dx+
dy+
dz);
dP=
(
dx+
dy+
dz)
–основное уравнение гидростатики.
Изобарическая поверхность- поверхность уровня. Тогда:
dP=0
=>
dx+
dy+
dz=0
-уравнение поверхности уровня.
Поверхность уровня и давление в сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси.
n
H
g h
=-g
При вращении образуется параболоид вращения.
+
ω2r
y
ω2y
x
ω2x
=ρ[
dx+
dy+
dz]=ρ[
+
-g
]
P-
=ρ[
g(z-
)]-
давление в произвольной точке жидкости
в сосуде.
Z=
+
-
yравнение
поверхности уровня
h=
+
(H-
)
– закон сохранения объема жидкости
2h=
+H
H=
+
=h-
Уравнение поверхности
уровня z=
+
h-
-
параболоид вращения
Сила давления на боковую стенку сосуда
P=
+ρgh
– закон Паскаля. Т.к. давление с глубиной
погружения меняется, то выделяем
бесконечно малый элемент стенки площадью
dS,
погруженный на глубину h,
записываем силу давления на него и
интегрируем полученное уравнение:
=PdS=
dS+ρg
F=
+
ρg
=
(
ρg
;
- координата центра тяжести стенки, т.к.
-
статический момент площади dS относительно
поверхности уровня.
Гидродинамика
Вывод выражений для дифференциала Бернулли, интеграла Бернулли (уравнения Бернулли)
Допущения:
1.Течение установившееся
=0
2.Течение осуществляется в поле сил тяжести.
=0,
=-g
3.Жидкость является идеальной
=
const
, µ=0
4.Течение является безвихревым.
ω=0 (ротор вихря)
+
=
+2
=
Записываем проекции уравнения Навье-Стокса на оси x,y,z, домножаем их соответственно на dx,dy,dz и складываем. Получаем:
½[
dx+
dy+
dz]=
- 1/ρ[
+
+
]-gdz
P=f(x,y,z),
тогда имеем полные дифференциалы
соответствующих выражений.
+
+ gdz=
0 => d(z+
+
)=0,-
дифференциал Бернулли.
P, ω, z –давление, скорость, координата в точке – их истинное значение
Z+
+
=
const=
H-
интеграл (уравнение) Бернулли
P- среднее давление, ω- средняя скорость, z- координата от живого сечения потока- усредненные параметры.
В идеальных жидкостях потенциальная энергия + кинетическая энергия неизменны.
Уравнение Бернулли (закон сохранения энергии)
Представление конвективной составляющей вектора скорости в уравнение Навье-Стокса разложением на поступательную и вращательную составляющие (уравнение Громеки-Лэмба)
Докажем, что
+
=
+2
Выражение для ротора вихря, вращающегося с угловой скоростью ω в декартовой системе
Rot[
(r)]=2ω=
=(
-
)i͞
+ (
-
)j͞
+ (
-
)k͞
Векторное произведение а х b имеет вид:
a͞
х b͞
=
=(
+ (
+(
k͞
-
2[ωxω͞ ]х=
-
-
+
=
+
Напомним, что:
=
2[ωxω͞
]=
+
+
-
=
+
,
что и требовалось доказать.
