0BМАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1BЧ а с т ь 5

2BРЯДЫ

3

3BВ в е д е н и е

Пособие входит в серию изданий, написанных в качестве руководства к решению задач по курсу математического анализа, читаемого для подготовки бакалавров. Основная его цель – помочь студентам в освоении практической части темы «Ряды» курса математического анализа.

В пособии изложены методы решения задач по темам: числовые ряды, положительные и знакопеременные ряды, степенные ряды и их сходимость, ряды Тейлора и Маклорена, разложение функций в степенной ряд и их использование в приближенных вычислениях. Наряду с классическими задачами высшей математики обсуждаются задачи, связанные с экономическими приложениями.

Пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов по курсу математического анализа на первом курсе, для использования на практических занятиях и при подготовке к экзамену.

Для углубленного изучения теоретического материала рекомендуется учебник [1], а в качестве пособия для освоения практического мате-

риала – сборник задач [2].

5

4BГ л а в а 1

5BЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

16B1.1. Сходимость ряда и его частичная сумма

Пусть дана некоторая последовательность действительных чисел an . Тогда сумма бесконечного числа членов этой последовательности

k =1

называется числовым рядом, а число an ( n =1,2,K) – членом ряда. Если

суммой. Таким образом, мы можем образовать новую последовательность – последовательность частичных сумм S1 = a1 , S2 = a1 +a2 ,

S3 = a1 +a2 +a3 , …, Sn = a1 +a2 +K+an , … Если эта последовательность

имеет конечный предел S = lim Sn , то числовой ряд (1) называется схо-

n→∞

дящимся, а число S – суммой ряда. В противном случае ряд (1) называ-

ют расходящимся. К основным свойствам сходящихся рядов относятся следующие:

1. Если ряд (1) сходится, то сходится и любой ряд, полученный из

него отбрасыванием конечного числа членов.

∞

Ряд an+1 +an+2 +an+3 +... = ∑ ak , полученный отбрасыванием первых

k=n+1

n членов суммы (1), называется n -м остатком ряда. Таким образом, ряд (1) и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.

6

2. Если каждый член сходящегося ряда (1), сумма которого равна S , умножить на некоторое число k , то полученный ряд

k =1

почленным сложением исходных рядов, также сходится, и его сумма равна S +T .

4. Если ряд (1) сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него группировкой слагаемых, и суммы рядов одинаковы.

Пример 1. Найти сумму ряда 125 + 529 + 9 213 +... .

Решение. Заметим, что если общий член ряда разложить в сумму простейших дробей, то он записывается в виде

7

17B1.2. Обобщенный гармонический ряд

и необходимый признак сходимости

Далее мы рассмотрим несколько примеров рядов, которые будут неоднократно встречаться в дальнейшем. Первым важным примером яв-

ляется гармонический ряд

Пример 3. Доказать, что гармонический ряд (2) расходится.

Решение. Предположим противное. Пусть гармонический ряд

n

что противоречит условию (3).

8

Еще одним важным примером является обобщенный гармонический

ряд:

При α >1 ряд (4) сходится, а при 0 <α ≤1− расходится.

Ответ на вопрос о сходимости числового ряда иногда помогает получить следующая теорема.

Необходимый признак сходимости. Если числовой ряд (1)

сходится, то предел его общего члена равен нулю: lim an = 0 .

n→∞

Отметим, что этот признак не является достаточным, т.е. из выпол-

lim an = 0 . С другой стороны, n-я частичная сумма ряда равна

n→∞

Другим важным примером числового ряда является геометрический ряд, или сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым чле-

9

Пример 5. Предположим, что в банк положена сумма R1 , на которую

и т.д. Соответственно, в конце n -го года сбережения клиента составят

Упражнение 3. В банк частным лицом положена сумма 5000 руб. с ежегодным начислением 12 % годовых. В конце каждого года счет пополняется на сумму 6000 руб. Каковы будут накопления вкладчика за 5 полных лет?

Пример 6. Предположим, что в банк m раз в течение года через равные интервалы времени (в конце интервала) вносят равные суммы mR

(т.е. всего за год вносится сумма R ). Найти накопленную к концу года сумму и предельный коэффициент наращения, считая, что проценты начисляются по номинальной ставке j также m раз в год.

10

Решение. Ясно, что с учетом нарастающих процентов сумма вклада станет больше, чем R. Поскольку проценты начисляются по номинальной ставке j с частотой m раз в год, то на первую внесенную

и представляет собой сумму m членов геометрической прогрессии с первым членом b1 = mR и знаменателем q =1+ mj . Согласно (6)

щения равен k∞, j = e j j−1 , что соответствует предельному (при m → ∞)

случаю непрерывного поступления взносов и непрерывного начисления процентов.

Иногда сумму числового ряда удается найти, представив его в виде суммы более простых рядов.

Пример 7. Найти сумму ряда

2 + 23 − 34 + 52 − 92 +163 + 54 + 272 − 643 + 85 − 812 + 2563 +165 +...

11