На каждом шаге получим отрезок [a |
, b ] и точку |
x |
[a |
k |
,b ], |
|
k |
|
k |
nk |
|
k |
|
так что nk > nk-1. |
|
xnk xn |
|
|
|
|
Т.е. получим подпоследовательность |
|
|
|
|||
и систему вложенных отрезков, длина которых стремится к нулю, так как
b a |
|
|
b a |
0, |
k . |
k |
|
||||
k |
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда, согласно принципу вложенных отрезков, существует единственная точка [ak, bk], k.
a |
|
ak |
xnk |
|
bk |
b |
|
|
|
|
|
||
Расстояние между точками и x |
не превосходит длины отрезка [ak, bk], т.е. |
|||||
|
|
|
|
nk |
|
|
0 x |
b a |
k |
|
xnk 0, |
k |
|
|
nk |
k |
|
|
|
|
|
0 |
Итак, построена подпоследовательность: lim xnk . |
||||
k |
|
|
|
|
k |
|
Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (критерий Коши)
Последовательность {хn} называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:
для любого > 0 существует такое натуральное число N( ), что для любого
nN( ) и любого m N( ) выполняется неравенство
хn – хm < .
Условие Коши можно записать в другом виде:
> 0 N( ) : n N( ) и р
хn+ р – хn < .
Коши (Cauchy) Огюстен Луи
(1789 – 1857)
• Французский
математик,
иностранный почетный член Петербургской АН (1831).
• Разработал базу
математического анализа – теорию пределов.
• Автор классических
курсов
математического
анализа.
ЛЕММА.
Фундаментальная ЧП является ограниченной.
Доказательство.
Возьмем =1.
Всилу условия Коши существует такое N(1), что для всех n N(1) и m N(1) выполняется неравенство
хn- хm < 1
Вчастности, и для m = N
хn- хN < 1.
Тогда
хn = хn- хN+ хN хn- хN + хN < 1+ хN .
Возьмем
С = max {1+ хN , х1 , х2 , ..., хN-1 }. Тогда для всех n справедливо неравенство
хn С.
ТЕОРЕМА.
Для того, чтобы ЧП имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство. |
|
|
|
1. Необходимость. |
|
|
|
Пусть существует |
|
|
|
lim |
x a. Докажем, что ЧП фундаментальна. |
||
n |
n |
|
и m N( ) |
Согласно определению предела, > 0 N( ) N : n N( ) |
|||
|
|
|
|
|
хn - а < /2, |
хm- а < /2. |
|
Оценим модуль разности
хn– хm = хn – а + а – хm хn– а + хm– а < /2 + /2 = . Следовательно, ЧП удовлетворяет условию Коши, то есть является фундаментальной.
2. Достаточность.
Пусть ЧП {xn} фундаментальна. Докажем, что она имеет предел. Так как фундаментальная ЧП {xn} является ограниченной, то, по
теореме Больцано-Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся |
||
подпоследовательность |
{xnk }. |
|
lim x |
a. |
Докажем, что а – предел исходной ЧП. |
Пусть k |
nk |
|
Возьмем > 0.
По опр. предела последовательности N1( ) N : k N1( ) xnk a / 2.
По опр. фундаментальной ЧП N2( ) N : n N2( ) , m N2( )хn- хm < /2.
Пусть N( ) = max{ N1( ), N2( )}. Фиксируем номер nk N( ).
Тогда при m = nk |
и n N( ) |
|
выполняется неравенство |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
xn xnk |
/ 2. |
|
|
|
Т.е. при n N( ) справедливо |
неравенство |
|
|
|
|||||||
|
xn a |
|
xn xnk |
xnk a |
xn xnk |
xn |
a |
/ 2 / 2 . |
|||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim xn a.
n
ПРИМЕР 1.
Докажем, что сходится числовая последовательность |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
cos1 cos 2 ... cos n , |
|
|
|
n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Оценим модуль разности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
xn p |
xn |
|
|
|
cos(n 1) |
cos(n 2) ... cos(n p) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
2n 2 |
1 |
|
|
|
|
|
2n p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
p |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
n 2 |
... |
|
n p |
|
|
n 1 |
|
|
1 |
|
|
n |
1 |
|
|
p |
|
|
|
|
n |
. |
|||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Возьмем > 0. Найдём N( ) N : n N( ) |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая неравенство, получим N( ) = |
[log2(1/ )] + 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
То есть n N( ) и р N хn+p – хn < .
Согласно критерию Коши, числовая последовательность сходится.
ПРИМЕР 2.
Докажем, что числовая последовательность {xn}, где |
||||||||||||||||
|
xn 1 1 |
|
1 |
... 1 , |
|
|
|
|||||||||
расходится. |
2 |
|
|
|
3 |
|
n |
|
|
|
||||||
Последовательность {xn} расходится, если не выполнено условие Коши, |
||||||||||||||||
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 > 0: k |
n k m k : хn – хm 0 . |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
Пусть задано k . Положим n = 2k , m = k . Тогда |
||||||||||||||||
хn – хm = х2k – хk |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
... |
1 |
|
1 |
k 1 . |
||||
|
k 1 |
k 2 |
|
2k |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2k |
2 |
|
||||||||
Таким образом, условие
выполняется при 0 = 1/2. Следовательно, в силу критерия Коши, числовая последовательность расходится.
