Раздел 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
1
Лекция 2.1
•Два определения предела функции в точке, их эквивалентность.
•Критерий Коши существования предела функции.
•Односторонние пределы и пределы при стремлении аргумента к бесконечности.
•Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
2
Два определения предела функции в точке
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (Гейне).
|
y |
|
|
|
y = f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
f(x2) |
|
|
|
|
A |
f(x3) |
|
|
|
|
f(x4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
x1 |
x4 |
x3 |
x2 |
|
|
|
|
a |
|
3
Пусть функция f(x) определена в U. r (a).
Число А называется пределом функции f(x) в точке а,
если для любой последовательности значений её аргумента
|
сходящейся к точке а |
{xn} Ur (a), |
|
|
(т.е. lim xn a ), |
|
n |
соответствующая последовательность значений функции {f(хn)}
сходится к А
(т.е. lim f (xn ) A ). |
|
|
n |
В этом случае пишут |
lim f (x) A. |
|
|
|
x a |
|
4 |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (Коши).
y |
y = f(x) |
|
A + ε
U (A) A
A - ε
x
0 |
a - δ |
a |
a + δ |
|
U (а)
5
Пусть функция f(x) определена в U. r (a).
Число А называется пределом функции f(x) в точке а, если для любого числа > 0 найдется число ( )>0, такое что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | x – a| < , выполняется неравенство
f(x) – A .
Последнее определение можно записать с помощью логических символов, используя понятие окрестностей:
lim f (x) A 0 |
( ) 0 : |
|
|
x U (а) |
|||
x a |
|
|
|
f (x) U (A). 6
ТЕОРЕМА.
Два определения предела функции, по Коши и по Гейне, эквивалентны.
7
Критерий Коши существования предела функции.
ТЕОРЕМА.
Для того, чтобы функция f(x) имела предел в точке а, необходимо и достаточно, чтобы для любого 0 существовала такая проколотая -
окрестность точки а , что для всех |
|
|
x U (a), |
x U (a) |
выполнялось бы неравенство f(x') – f(x'') .
y
f(x )
f(x )
|
|
|
|
|
x |
a - |
x |
a |
x |
a + |
8 |
|
|
|
|
Односторонние пределы.
|
y |
y = f(x) |
||
|
A1 + |
|||
|
|
|
|
|
U (A1) |
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 - |
|
|
(a) |
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
x |
|
a - |
a |
. |
|
|
|
|
|
|
Пусть функция f(x) определена в |
|
Ur (a). |
||
Число А1 называется пределом слева функции f(x) в точке а и обозначается
илиlimf(аf–(x0), если > 0 ( ) > 0, такое что для всех х, удовлетворяющих неравенству
x a 0
а – < x < a,
выполняется неравенство
f(x) – A1 .
9
y
|
A2 + |
y = f(x) |
|
|
A2 |
|
|
U (A2 ) |
|
|
|
|
|
(a) |
|
|
A2 - |
||
|
U |
x
|
|
|
|
a |
a + |
|
|
Пусть функция f(x) определена в |
|
|
(a). |
|
Ur |
||
Число А2 называется пределом справа функции f(x) в точке а и обозначается f (x) или f(а + 0), если > 0 ( ) > 0, такое что для всех х,
удовлетворяющих неравенству
а < x < a + ,
выполняется неравенство
f(x) – A2 . |
10 |