Лекция 2.

•Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

•Арифметические операции над сходящимися числовыми последовательностями.

Определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательности.

Числовая последовательность { n} называется бесконечно малой, если

Возьмем >0.

Решив относительно n неравенство n = 1/n < , получим: n > 1/ . Возьмем N( ) = [1/ ] + 1. Тогда

n N( ) n < .

Числовая последовательность {xn} называется бесконечно большой,

ПРИМЕР 2. Покажем, что xn = (- 1)nn – бесконечно большая. Возьмем > 0.

Решив относительно n неравенство хn = n > и взяв N( ) = [ ] + 1, получим:

n N( ) хn > .

Аналогично определяются пределы, равные .

ПРИМЕР 4. lim(7 n)

n

ЗАМЕЧАНИЕ.

Запись

lim xn

n

носит условный характер. На самом деле

предела здесь нет!

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.

ТЕОРЕМА 1.

Алгебраическая сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая.

Доказательство.

Пусть { n} и { n} – бесконечно малые. Покажем, что { n n } – бесконечно малая.

Возьмем >0. Тогда, согласно определению бесконечно малой, для 1 = /2

N1( /2) N : n N1 n < /2,

N2( /2) N : n N2 n < /2.

Возьмем N( ) = max{N1, N2}. Тогда, воспользовавшись свойством модуля вещественного числа, для всех n N имеем оценку:

n n n + n < /2 + /2 = , т.е. { n n } – бесконечно малая.

СЛЕДСТВИЕ.

Сумма конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая.

ЗАМЕЧАНИЕ.

Последнее утверждение неверно, если число слагаемых растет с ростом n. Например

т.е. в данном случае сумма не стремится к нулю при n .

ТЕОРЕМА 2.

Произведение бесконечно малой числовой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая.

Доказательство.

Пусть { n} – бесконечно малая, {xn} – ограниченная. Покажем, что { n·xn} – бесконечно малая.

Пусть С > 0 : хn С n. Возьмем > 0. Тогда, согласно определению бесконечно малой последовательности, для 1 = / С

N( /С) N : n N( /С) n < /С. Воспользовавшись свойством модуля вещественного числа, для всех n N имеем оценку:

n·xn n · хn < ( / С)·С = , т.е. { n·xn} – бесконечно малая.

СЛЕДСТВИЕ.

Произведение конечного числа числовых последовательностей, из которых хотя бы одна бесконечно малая, а остальные ограниченные, есть бесконечно малая.

ТЕОРЕМА 3.

Числовая последовательность {xn}, где xn 0 n является бесконечно малой тогда и только тогда, когда {1/xn}– бесконечно большая.

Доказательство.

1) Пусть {xn} – бесконечно малая последовательность. Возьмем >0. Согласно определению бесконечно малой, для 1=1/

N( 1) N: n N( 1) хn < 1/ .

Отсюда следует, что 1/ хn > для n N, т.е. {1/xn} – бесконечно большая.

2) Пусть {1/xn} – бесконечно большая последовательность. Возьмем> 0. Согласно определению бесконечно большой, для 1=1/

N( 1) N: n N( 1) 1/ хn > .

Отсюда следует, что хn < для n N, т.е. {xn} – бесконечно малая.

Арифметические операции над сходящимися числовыми последовательностями.

ЛЕММА. lim xn a xn a n , n

где n – бесконечно малая числовая последовательность.

Доказательство.

1. Пусть lim xn а.

n

Это значит, что

> 0 N( ) N: n N( ) | xn– а |< , то есть xn – а = n – бесконечно малая последовательность.

2.Пусть xn= а + n, где n – бесконечно малая. Из определения бесконечно малой последовательности следует, что