Лекция 1.2.
•Графики основных элементарных функций
•Числовая последовательность.
•Предел числовой последовательности.
•Единственность предела.
•Ограниченность сходящейся числовой последовательности.
1
Графики основных элементарных функций
Основными элементарными функциями называются функции: постоянная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические.
Всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных функций, называется просто элементарной функцией.
•Степенная функция y = xр.
Область определения и график функции зависят от показателя р. Рассмотрим несколько случаев:
1. y = x2n, n N. |
|
2. |
y = x2n+1, n N. |
|
|||
|
|||
D(f) = R, Е(f) = {y 0}. |
|
|
D(f) = R, Е(f) = R |
|
|
||
|
|
|
|
y |
|
|
1 |
|
|
|
х |
- 1 |
0 |
1 |
|
|
y |
|
|
1 |
|
- 1 |
|
x |
0 |
1 |
|
|
- 1 |
|
|
|
2 |
• . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
y 2n x, |
n N |
|
|
4. y 2n 1 x, |
n N |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
|
D( f ) {x 0), |
E( f ) {y 0} |
|
D( f ) R, |
E( f ) R |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
1 |
|
- 1 |
|
||
x |
0 |
1 |
|||
|
|||||
0 |
1 |
|
- 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
5. y x2n |
, |
n N |
|
6. y x2n 1 , |
n N |
|
D( f ) {x 0}, |
E( f ) {y 0} |
D( f ) {x 0}, |
E( f ) {y 0} |
|||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
- 1 |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
- 1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
3 |
|
- 1 |
0 |
1 |
|
|
|
• Показательная функция y = ax (a > 0, a 1).
D(f) = R, Е(f) = {y > 0}.
y |
|
y |
|
a < 1 |
|
a > 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
x |
x |
|
|
|
0 |
|
0 |
• Логарифмическая функция y = loga x |
(a > 0, a 1). |
||
D(f) = {x > 0}, Е(f) = R |
|
|
|
y |
|
y |
a < 1 |
a > 1 |
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
x |
0 |
1 |
0 |
1 |
4
•Тригонометрические функции.
y = sin x
D(f) = R, Е(f) ={ y [–1, 1]}.
|
y |
|
|
1 |
|
- /2 |
|
х |
- |
|
|
/2 |
|
|
|
|
–1
y = tg x
D(f) = {x π/2 + πk, k Z}, Е(f) =R
y
- |
|
|
х |
|
|
|
|
- /2 |
/2 |
|
3 /2 |
y = cos x
D(f) = R, Е(f) ={ y [–1, 1]}.
y |
|
|
|
1 |
|
|
|
- |
|
|
х |
|
|
||
- /2 |
/2 |
|
3 /2 |
–1
y = ctg x
D(f) = {x πk, k Z}, Е(f) =R
y
х
-2 |
- |
- /2 0 |
/2 |
|
2 |
5
•Обратные тригонометрические функции.
y = arcsin x |
y = arccos x |
D(f) = [–1, 1], Е(f) = [–π/2, π/2]. |
D(f) = [–1, 1], Е(f) = [0, π]. |
|
y |
|
|
/2 |
|
|
|
x |
- 1 |
0 |
1 |
|
- /2 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
/2 |
|
|
|
x |
- 1 |
0 |
1 |
|
y = arctg x |
y = arcctg x |
D(f) = R, Е(f) = (–π/2, π/2). |
D(f) = R, Е(f) = (0, π). |
y |
|
|
y |
|
|
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
/2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
- /2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
•Гиперболические функции.
y shx ex e x
2
y сhx ex e x
2
y = chx |
y |
|
1
y = 0.5e- x
y = shx
- гиперболический синус; D(f) = R, Е(f) = R.
- гиперболический косинус; D(f) = R, Е(f) = {y 1}.
|
|
Некоторые свойства |
|
|
гиперболических |
|
|
функций: |
|
y = 0.5ex |
sh(x+у) = shx·сhу + сhx·shу |
|
сh(x+у) = сhx·сhу + shx·shу |
|
|
|
|
0 |
x |
sh(2x) = 2shx·сhx |
|
|
сh(2x)= сh2x + sh2x |
|
|
сh2x – sh2x = 1 |
7
y thx |
|
shx |
|
ex e x |
|||
chx |
ex e |
x |
|||||
|
|
|
|||||
y cthx |
chx |
|
ex e x |
|
|||
shx |
ex e x |
|
|||||
|
|
|
|
||||
y
1
y=thx
-гиперболический тангенс; D(f) = R, Е(f) = {-1< y < 1}.
-гиперболический котангенс; D(f) = {x 0}, Е(f) = { | y |> 1}.
y=cthx
0 |
x |
–1
8
Понятие числовой последовательности.
Если каждому числу n N поставлено в соответствие определённое число хn R, то полученное упорядоченное множество
х1, х2, … , хn , …
называют числовой последовательностью (ЧП).
Таким образом, числовая последовательность – это
функция, областью определения которой является все множество натуральных чисел N. Значения этой функции хn
называются элементами последовательности, число n называется номером элемента.
Кратко числовую последовательность обозначают |
|
xn n 1 |
|
или {хn} . |
|
Числовая последовательность может быть задана с помощью формулы, позволяющей вычислить каждый элемент последовательности по его
номеру. |
9 |
Примеры.
1) 1, 1, 1, …
хn=1, n N ;
2) –1, 1, –1, 1, …
хn= (–1)n , n N ;
|
|
|
2 |
|
, |
2 |
2 |
|
, |
... |
|||
3) |
2, |
2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х1 |
|
|
|
, |
n 2, 3, ... |
|||||
|
|
|
2, xn |
2 xn 1 |
|||||||||
10