Лекция 2.2
•Свойства функций, имеющих предел.
•Асимптоты графика функции и методы их отыскания.
Свойства функций, имеющих предел.
ТЕОРЕМА 1.
Если функция f(x) имеет предел в точке а, то найдется такая проколотая окрестность точки а, в которой функция ограничена.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть |
lim f (x) А. |
|
x a |
Тогда, по определению предела, для = 1 .найдется такая проколотая - окрестность точки а , что для всех х U (a),
выполняется неравенство
А – 1 < f(x) < А+1.
Это и означает ограниченность функции на множестве U. (a).
ТЕОРЕМА 2.
Если функция f(x) имеет в точке а предел, отличный от нуля, то найдется такая проколотая окрестность точки а, в которой функция сохраняет знак предела.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть |
lim f (x) А 0. |
x a |
Тогда, по определению предела, для |
|
|
А |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
найдется такая проколотая -окрестность точки а , что х U. (a) |
|
|||||||||||||||||||||
A |
|
|
A |
|
|
f (x) A |
|
|
|
A |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
х U. (a); |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
0 |
|
|||||||||
Если А > 0, то из левого неравенства |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
A |
0 |
х U. (a). |
|
||||||
если А < 0, то из правого неравенства |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ТЕОРЕМА 3.
Если f (x) 0 в некоторой проколотой окрестности точки а и
lim f (x) А,
то А 0. |
x a |
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Воспользуемся определением предела по Гейне.
Возьмем числовую последовательность xn U. (a), сходящуюся к а.
Тогда |
lim f (xn ) A |
и f( xn ) 0 для всех n. |
|
||
|
n |
|
Следовательно, по соответствующей теореме для числовых
последовательностей, А 0.
ТЕОРЕМА 4. (О двух милиционерах.)
Если в некоторой проколотой окрестности точки а справедливы
неравенства |
f(x) g(x) (x) |
|
|
и существуют |
lim f (x) lim (x) А, то |
lim g(x) А. |
|
|
x a |
x a |
x a |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Воспользуемся определением предела по Гейне. Возьмем xn U. (a),
сходящуюся к а. Тогда |
lim f (xn ) lim (xn ) А |
|
|
||
|
n |
n |
и f( xn) g( xn) ( xn) для всех n. Следовательно по теореме о двух
милиционерах для числовых последовательностей |
lim g(xn ) А, |
|
|
|
n |
т.е. существует |
lim g(x) А. |
|
х а
ТЕОРЕМА 5.
1.Если f(x) = с – постоянная в некоторой проколотой окрестности
точки а, то lim f (x) с.
x a |
|
|
2. Если существуют |
lim f (x) A, |
lim g(x) В, |
|
||
|
x a |
x a |
тогда существуют и
а) lim( f (x) g(x)) А В;
х а
б) lim( f (x) g(x)) А В;
х а |
|
|
|
|
|
|
в) lim |
f (x) |
|
A |
, |
B 0. |
|
g(x) |
B |
|||||
х а |
|
|
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
1.Воспользуемся определением предела по Гейне. Возьмем ЧП
xn U. (a), сходящуюся к а. Тогда f(xn) = с для всех n и lim f (xn ) с,
n
lim f (x) с.
х а
следовательно
2.Воспользуемся. определением предела по Гейне. Возьмем ЧП
xn U (a),
сходящуюся к а. |
|
lim |
f (xn ) А, |
n |
|
a) по теореме о пределе суммы для
lim( f (x) g(
х а
то есть
limТогдаg(xn ) В.
n
lim( f (xn ) g(xn )) А В,
n
ЧП
x)) А В.
СЛЕДСТВИЯ из теорем 3, 5.
1.Если f(x) В в некоторой проколотой окрестности точки а
и |
lim f (x) A, |
то А В. |
|
|
|
|
x a |
|
2. Если существует lim f (x), то для любого числа С
x a
lim(сf (x)) с lim f (x). |
|
x a |
x a |
Арифметика бесконечностей.
Введем обозначения:
•С = const 0.
•∞ – бесконечно большая функция произвольного знака;
•+ ∞ – бесконечно большая положительная функция;
•– ∞ – бесконечно большая отрицательная функция;
•0 – бесконечно малая функция;
•1 – функция, предел которой равен 1.
Тогда имеют место следующие соотношения:
С ∞ = ∞
С/0 = ∞
С/∞ = 0
+ ∞ + ∞ = + ∞
–∞ – ∞ = – ∞
(+∞)С = + ∞, если С>0 (0, если C < 0)
(+∞)+∞ = + ∞
Неопределенные ситуации, требующие исследования.
•0/0
•0 ∞
•∞/∞
•∞ – ∞
•1∞
•00
•∞0