Лекция 3.5

Формула Тейлора

Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа и в форме Пеано

Единственность разложения Тейлора

Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

Брук Тейлор (Taylor)

(1685 - 1731)

•Английский математик. Родился в предместье Лондона. Получил прекрасное домашнее музыкальное и художественное образование. В 15 лет поступил в Кембриджский университет, где незадолго до этого работал И.Ньютон, остававшийся кумиром молодых математиков, среди которых был и Брук Тейлор. В 1712г. Тейлора избрали членом Королевского общества. В 1718г. он уходит с поста секретаря общества, чтобы освободить время для философской работы.

•Тейлор исследовал свойства функций. В 1712г. нашел, в 1715г. опубликовал общую формулу разложения функций в степенной ряд, которая носит теперь его имя.

Многочлен Тейлора.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Многочленом Тейлора степени n функции f(x) в точке х0 называется многочлен следующего вида:

Доказательство.

Из формулы (1) следует, что Tn(x0) = f(x0). Продифференцировав (1), получим Tn (x0) = f '(x0), и т.д.

Определение формулы Тейлора.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Формула вида

f(x) = Tn(x) + Rn(x)

называется формулой Тейлора n-ого порядка функции f(x) в точке х0.

Здесь функция Rn(x), представляющая собой разность между функцией и её многочленом Тейлора, называется n-ым остатком Тейлора.

Примеры.

1. Формула конечных приращений Лагранжа

Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа.

ТЕОРЕМА 1.

Пусть функция f(x) n+1 раз дифференцируема в U (x0). Тогда для f(x) справедлива формула Тейлора n-ого порядка в точке х0, причём

Rn (x) f (n 1) ( ) (x x0)n 1, (n 1)!

где – между х и х0.

Доказательство.

Пусть, для определенности, x > x0.

Rn(x) = f(x) – Tn(x).

Заметим, что

Rn(x0) = R'n(x0) = R''n (x0) = … = Rn(n)(x0) = 0, Rn(n+1)(x) = f (n+1)(x) для х U (x0).

Введем вспомогательную функцию

g(x) = (x - x0)n+1 .

Заметим, что

g(x0) = g'(x0) = g''(x0) = … = g(n)(x0) = 0, g(n+1)(x) = (n+1)! для х U (x0).

Применим к функциям Rn(x) и g(x) теорему Коши n+1 раз

где x0 < < xn < … < x1 < x < x0+ δ.

x0 ξ xn x2 x1 x x0 + δ

Формула Тейлора с остатком в форме Пеано.

ТЕОРЕМА 2.

Пусть функция f(x) n раз дифференцируема в U (x0) и f (n)(x) непрерывна в точке x0. Тогда при х x0 функция может быть представлена в виде

Замечание.

Последнюю формулу называют формулой Тейлора с остатком в форме Пеано или локальной формулой Тейлора.

Доказательство.

Так как f(x) n раз дифференцируема в U (x0), то для нее справедлива формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа порядка (n-1):

где между х и x0.

f (n)( ) f (n)(x0) при х x0, т.е. f (n)( ) = f (n)(x0) + о(1) при х x0. Тогда получим, что

Джузеппе Пеано (1858-1932).

•Итальянский математик и логик. Член Туринской Академии Наук. Окончил Туринский университет. Работал там же.

•Пионер и пропагандист символической логики. Исследовал основные понятия и утверждения анализа (вопросы о возможно более широких условиях существования решений дифференциальных уравнений, понятие производной

и другие). Занимался формально-логическим обоснованием математики.

Единственность представления функции f(x) в виде многочлена по степеням (х – х0)

ТЕОРЕМА 3.

Пусть функция f(x) n раз дифференцируема в U (x0) и f (n)(x) непрерывна в точке x0. Если при х x0 функция представима в

виде

f (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 ... an (x x0 )n o((x x0 )n ),

то коэффициенты