Лекция 4.6

Условный экстремум, условия его существования и методы отыскания.

Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных в замкнутой ограниченной области.

Понятие условного экстремума функции нескольких переменных.

До сих пор мы занимались отысканием локальных экстремумов функции, аргументы которой не связаны никакими дополнительными условиями. Вместе с тем, в приложениях часто встречается задача об отыскании экстремума функции, аргументы которой удовлетворяют дополнительным уравнениям связи. Экстремумы такого рода называют

условными.

ПРИМЕР.

Пусть требуется найти экстремум функции z = x2 + y2

при условии, что аргументы этой функции удовлетворяют уравнению связи

х + у – 1 = 0.

Таким образом, экстремумы ищутся не на всей плоскости, а а лишь на прямой х + у – 1 = 0.

Для решения поставленной задачи выразим у = 1 – х из уравнения связи и подставим в исследуемую функцию. Таким образом, мы сведем поставленную задачу к задаче об отыскании безусловного экстремума функции одной переменной

z = 2x2 – 2x + 1.

z = 4x – 2 = 0 x = 1/2; z = 4 > 0, то есть x = 1/2 – точка

минимума. Итак (1/2, 1/2) – точка условного минимума. z

Общая постановка задачи отыскания условного экстремума функции двух переменных.

при условии, что ее аргументы удовлетворяют уравнению связи( х, у ) = 0. (2)

Эта задача может быть решена так, как в предыдущем примере. Это, так называемый, прямой метод отыскания точек условного

экстремума. Однако часто уравнение связи трудно решается относительно х. Поэтому часто используют так называемый

метод множителей Лагранжа.

Пусть функции f(x, y) и (х, у) непрерывно дифференцируемы в

которую называют функцией Лагранжа, а параметр – множителем Лагранжа.

Для того, чтобы точка (x0, y0) являлась точкой условного экстремума функции f(x, y) при уравнении связи (х, у) = 0, необходимо, чтобы ее координаты при некотором значении параметраудовлетворяли системе уравнений:

Заметим, что при условии связи (2) экстремумы функции Лагранжа совпадают с экстремумами исследуемой функции (1).

Достаточные условия существования условного экстремума.

Пусть f (x, y) и (х, у) дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки (x0, y0) и в этой точке выполнены необходимые условия существования условного экстремума функции f(x, y) при ограничениях (2).

Вычислим второй дифференциал функции Лагранжа по переменным х и у при фиксированном значении параметра , то есть

второй дифференциал функции Лагранжа

d2 F(x0 , y0 ; 0 )

•положительно определенная квадратичная форма, то (x0, y0) – точка условного минимума;

•отрицательно определенная квадратичная форма, то (x0, y0) – точка условного максимума;

•неопределенная квадратичная форма, то (x0, y0) не является точкой условного экстремума функции.

ПРИМЕР.

Найти условные экстремумы функции

z = 5 – 3x – 4y относительно уравнения связи

x2 + y2 = 25. Составим функцию Лагранжа

F(x, y, ) = 5 – 3x – 4y + ( x2 + y2 – 25). Найдем стационарные точки функции Лагранжа

Таким образом, функция f (x, y) может иметь условный экстремум только в точках (3, 4) и (–3, –4).

Вычислим второй дифференциал функции Лагранжа: d 2F(x, y; ) 2 dx2 2 dy2.

Продифференцируем уравнение связи:

2xdx 2ydy 0.

В точках (3, 4) и (–3, –4) дифференциалы dx и dy связаны условием

3dx 4dy 0.

При выполнении этого условия

d 2F(3,4; 12) dx2 169 dx2 1625 dx2 0,

d 2F( 3, 4; 12) dx2 169 dx2 1625 dx2 0.

Следовательно, функция f(x, y) имеет

в точке (3, 4) условный минимум z(3, 4) = – 20,

а в точке (–3, –4) – условный максимум z(–3, –4) = 30.

Задача на условный экстремум для функции трех переменных.

Найти экстремумы функции

u = f ( x, y, z) при выполнении условий связи

1 (х, у, z) = 0, 2 (х, у, z) = 0.

Здесь также возможен как прямой метод поиска условного экстремума, так и метод множителей Лагранжа.

Функция Лагранжа в данном случае имеет вид:

F(x, y, z, 1, 2) = f(x, y, z) + 1 1 (х, у, z) + 2 2 (х, у, z). Стационарные точки этой функции находятся как решения системы

Fx Fy Fz 0

(x, y, z) 0 .

1

(x, y, z) 0

2

Далее исследование проводится по той же схеме, что и для функции двух переменных.

В данном случае возможно и только одно уравнение связи.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на компакте.

Пусть функция

u = f(x1, x2, ... , xm) : Rm R

непрерывна на ограниченном замкнутом множестве G Rm (на компакте) и дифференцируема во всех внутренних точках этого множества.

Напомним, что для функции, непрерывной на компакте, существуют на этом компакте точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения. Эти точки могут быть внутренними и граничными. Поэтому следует действовать по такой схеме:

найти стационарные точки внутри области G и вычислить значения функции в этих точках;

исследовать функцию на границе области (здесь решается задача на условный экстремум);

сравнить значения функции в стационарных точках и на границе, выбрать среди них наибольшее и наименьшее.