ПРИМЕР 1.

Найдем стационарные точки функции. zx = 2x + 2y + 1; zy = 2x + 2.

Точка М1(–1, 1/2) G, z(–1,1/2) = 0.

Исследуем функцию на границе области.

y = 0.

Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений на отрезке [– 2, 0] функции одной переменной

Следовательно, z(–1/2, 0) = – 1/4, z(–2, 0) = 2; z(0, 0) = 0.

x = 0.

Исследуем на наибольшее и наименьшее значение на отрезке [0, 2] функцию

g ( y ) = z (0, y) = 2y. Эта функция не имеет стационарных точек.

На конце отрезка g (2) = 4. Следовательно, z (0, 2) = 4.

y = x + 2.

Исследуем на наибольшее и наименьшее значение на [– 2, 0] функцию

( x) = z ( x, x + 2) = x2 + 2x(x + 2) + x + 2(x + 2) = 3 x2 + 7 x + 4.

´ ( x) = 6x + 7 = 0 x = – 7/6 [– 2, 0], (– 7/6) = – 1/12.

Следовательно, z(–7/6, 5/6) = – 1/12.

В результате получим, что

zнаиб = 4 в точке М4 (0, 2) , zнаим = –1/4 в точке М5 (–1/2, 0) .

ПРИМЕР 2.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 – y2

в замкнутой ограниченной области

G: x2 + y2 2x.

y

1

G

– 1

Найдем стационарные точки функции.

Исследуем функцию на границе области.

Будем решать задачу на условный экстремум, то есть найдем наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 – y2,

аргументы которой удовлетворяют уравнению связи x2 + y2 – 2x = 0.

Составим функцию Лагранжа

F(x, y, ) = x2 – y2 + ( x2 + y2 – 2x). Найдем стационарные точки функции Лагранжа

Вычислим значение исследуемой функции в найденных точках: