Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matan / Лекц2-3A.ppt

Скачиваний:

Добавлен:

20.04.2015

Размер:

1.1 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Лекция 2.3

Замечательные пределы и следствия из них.

Сравнение функций

•Функции одного порядка. Символ «О-большое»

•Эквивалентные функции

•Функция, бесконечно малая по сравнению с другой функцией. Символ «о-малое»

Асимптотическое представление функций

Первый замечательный предел								lim sin x 1.
Первый замечательный предел								x 0	x
	Рассмотрим круг единичного радиуса с центром в точке О.
				Пусть
			D	Пусть			AB x, 0 x .
			D	Тогда AOB = x (рад.),					2
				Тогда AOB = x (рад.),
			B	BC sin x,				OC cos x.
			x		DA tgx.
		R		Пусть S1 – площадь треугольника AOB,
		=1	x	Пусть S1 – площадь треугольника AOB,
			x		п	S2 – площадь сектора AOB,
			A		п	S2 – площадь сектора AOB,
		O	A			S3 – площадь треугольника AOD.
		O	C			S3 – площадь треугольника AOD.
			S1= 0,5 (OA)2 sinx = 0,5 sinx,
			S2= 0,5 (OA)2 x = 0,5 x,S3= 0,5 OA DA = 0,5 tg
	x	1	S1 < S2	< S3	sin x		sin x x tgx
1	x	1			sin x
1	sin x	cos x	cos x			x	1

	cos x	sin x	1
		x		sin( x)	sin x

Так как	cos( x) cos x,					,
				( x)	x

то последнее неравенство справедливо и для

Отсюда, в частности, следует, что

x 0. 2

	Оценим разность:			sin x				x	,	x.
				sin x				x	,	x.

		2 x			x	2
1	cos x 2sin		2				0,
1	cos x 2sin		2				0,
		2
		2			2

при x 0.

Итак, по теореме о двух милиционерах, имеем:

lim cos x 1.

x 0

lim sin x 1

x 0 x

Второй замечательный предел lim 1					1	x е.
				x	x
Напомним, что	lim 1		1 n e.
	n		n
Далее покажем, что		lim 1 1 х		e.
		х	х

Пусть х >1. Положим n = [х]. Тогда х = n + , где 0 .

Тогда	n x n 1				1			1	1
					n 1			x
										n
	1	1	n	1		1	x			1	1 n 1	.


		n 1				x
											n

Найдем пределы последовательностей в левой и правой частях неравенства:

			1		n				1		n 1				1		1
1							1						1				e,	n ;
1							1						1				e,	n ;
		n 1													n 1
		n 1							n 1						n 1
	1		1	n 1		1		1 n				1		e,		n .
	1					1				1				e,		n .
												n
			n					n				n

Следовательно, по теореме «о двух милиционерах»

lim 1	1	x е.
x	x

Покажем, что	lim 1	1	x е.
	x	x

Пусть х < – 1. Сделаем замену х = – у. Тогда

lim 1 1

lim 1

lim

lim	y 1 1	y		1
lim			lim	1
y	y 1
	y 1
			y

1	y 1		1
		(1		)	e 1 e.
y 1			y 1
y 1			y 1

Итак, мы установили, что	1
lim 1	1	x е.
x	x

Замена переменной при вычислении пределов.

ТЕОРЕМА.	lim f (x) b,	lim F( y).
Пусть существуют	lim f (x) b,	lim F( y).
	x a	y b

Пусть, кроме того, f(x) b в некоторой проколотой окрестности точки а. Тогда в точке а существует предел сложной функции

lim F( f (x)) lim F( y).

x a	y b
ПРИМЕР.

1 .

lim

x 1

lim

y 1

lim

y5 1

y4 y3 y2 y 1

x 0

y 1

x 1

Следствия замечательных пределов.

Доказать, что:

1 cos x

lim

tgx

lim

x 0

Доказательство.

x 2

tgx

sin x

x 0.

1 cos x

2sin

1 sin

cos x

2 , x 0.

3)	lim arcsin x		1
	x 0	x

Доказательство.

Пусть arcsinx = y.

Tогда y 0 при х 0; x = siny.

4)	lim arctgx		1
	x 0	x

Доказательство.

Пусть arctgx = y.

Tогда y 0 при х 0; x = tgy

lim arcsin x

lim

lim arctgx

lim

sin y

tgy

x 0

y 0

x 0

y 0

lim 1 x 1/ x е

ln(1 x)

lim

x 0

Доказательство.

lim 1 x

1/ x

ln(1 x)

ln 1

lim

е.

1/ x

lne = 1.

x 0

					e, x 0
7)	lim	loga (1 x)	1	, a 0, a 1	e, x 0
		loga (1 x)	1
		x	ln a
	x 0	x	ln a

Доказательство.
lim		loga (1 x)			lim	ln(1 x)
			x				ln a x
x 0					x 0
		1	lim ln(1 x)				1	.

	ln a x 0			x			ln a

lim

ex 1

x 0

Доказательство.

Пусть ex - 1 = y.

Tогда y 0 при х 0; x = ln(1+y).

lim

ex 1

lim

ln(1

x 0

y 0

lim

y 0

lim ax

1 ln a,

a 0, a 1

10)

lim shx

x 0

Доказательство.

lim shx

lim e

exln a 1

lim

ln a

x 0

x ln a

x 0

ln a lim e

lim

ln a.

2 x 0

( x)

y 0

11)

lim

(1 x)a 1

a R, a 0

x 0

Доказательство.

Пусть y = ( 1+x)a - 1 = ealn(1+x) - 1.

Тогда (1+x)a = y + 1

aln(1 + x) = ln(1+y).

(1 x)a 1

a ln(1 x)

при х 0.

ln(1 y)

1 при х 0

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Matan

#
20.04.2015274.94 Кб33Лекц1-3A.ppt
#
20.04.2015316.93 Кб28Лекц1-4A.ppt
#
20.04.20151.04 Mб30Лекц1-5A.ppt
#
20.04.20151.33 Mб38Лекц2-1A.ppt
#
20.04.20151.14 Mб27Лекц2-2A.ppt
#
20.04.20151.1 Mб42Лекц2-3A.ppt
#
20.04.20151.18 Mб25Лекц2-4A.ppt
#
20.04.20151.22 Mб24Лекц2-5A.ppt
#
20.04.20151.34 Mб30Лекц3-1a.ppt
#
20.04.20151.28 Mб37Лекц3-5a.ppt
#
20.04.20151.42 Mб30Лекц3-6a.ppt

			1		n				1		n 1				1		1
1							1						1				e,	n ;
1							1						1				e,	n ;
		n 1													n 1
		n 1							n 1						n 1
	1		1	n 1		1		1 n				1		e,		n .
	1					1				1				e,		n .
												n
			n					n				n

			1		n				1		n 1				1		1
1							1						1				e,	n ;
1							1						1				e,	n ;
		n 1													n 1
		n 1							n 1						n 1
	1		1	n 1		1		1 n				1		e,		n .
	1					1				1				e,		n .
												n
			n					n				n

Лекция 2.3

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел lim 1

Найдем пределы последовательностей в левой и правой частях неравенства:

Покажем, что

Замена переменной при вычислении пределов.

Следствия замечательных пределов.

			1		n				1		n 1				1		1
1							1						1				e,	n ;
1							1						1				e,	n ;
		n 1													n 1
		n 1							n 1						n 1
	1		1	n 1		1		1 n				1		e,		n .
	1					1				1				e,		n .
												n
			n					n				n