Асимптоты графика функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ АСИМПТОТЫ.
Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если выполнено хотя бы одно из условий:
lim f (x) , |
lim f (x) . |
x a 0 |
x a 0 |
ПРИМЕР.
y
Прямая х = 1 является вертикальной
асимптотой графика функции
так как
f (x) x1 1,
0
1 |
x |
lim f (x) , |
lim f (x) . |
x 1 0 |
x 1 0 |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАКЛОННОЙ АСИМПТОТЫ.
Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции f(x) при х + (при х – ), если
lim ( f (x) (kx b)) 0 |
( lim ( f (x) (kx b)) 0). |
х |
х |
СПОСОБ ОТЫСКАНИЯ НАКЛОННОЙ АСИМПТОТЫ.
ТЕОРЕМА.
Прямая у = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f(x) при х + (при х – ) тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы
lim |
|
f (x) |
k, |
lim( f (x) kx) b |
|
|
|
x |
|
||||
x |
|
|
|
x |
|
|
lim |
|
f (x) |
k, |
lim ( f (x) kx) b |
. |
|
|
x |
|
||||
x |
|
|
|
x |
|
|
Доказательство.
1. Пусть |
lim ( f (x) (kx b)) 0. |
|
x |
Тогда |
|
|
f(x) – (kx + b) = (х), |
где (х) бесконечно малая при х + . Отсюда получим, что
f (x) |
k b |
|
(x) |
k, |
х ; |
|
x |
x |
|||||
x |
|
|
|
|||
f (x) kx b (x) b, |
x . |
|||||
2. Пусть lim |
f (x) |
k, |
lim( f (x) kx) b. |
||
x |
|||||
x |
|
x |
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
f(x) – (kx + b) = (f(x) –kx) – b = b+ (х) – b |
= (х) 0 при |
||||
х + . |
|
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ.
Для случая горизонтальной асимптоты теорема формулируется так:
Для того, чтобы прямая y = b была асимптотой графика функции f(x) при х + , необходимо и достаточно,
чтобы |
lim f (x) b. |
|
x |
||
|
ПРИМЕР.
Найдем наклонные асимптоты графика функции
Для этого вычислим необходимые пределы:
lim |
f (x) |
1 k, |
|
x |
|||
x |
|
lim ( f (x) kx) lim ( |
x2 4 |
|
x) |
||||
|
|||||||
x |
|
|
х x 1 |
|
|||
lim ( |
x2 |
4 x |
2 x |
) 1 b. |
|
||
|
x 1 |
|
|
||||
х |
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично при х – .
f(x) x2 4 . x 1
y
y = x + 1
1
x
