Частотные критерии качества

При анализе качества переходного процесса частотным методом используется ЧХ замкнутой системы W(jω) = A(ω)e^jφω. Зная её, можно определить выходную величину ЧХ при подаче на вход гармонического воздействия и найти реакцию системы в переходном процессе на произведённое воздействие.

Представляя произведённое воздействие в виде бесконечной суммы гармонических колебаний, можно по ЧХ определить реакцию системы на каждое из этих элементарных колебаний, затем, просуммировав все реакции, найти результирующую.

Интеграл Фурье для единичной ступенчатой функции: (4.20), т.е. единичная ступенчатая функция может быть представлена как бесконечная сумма элементарных колебаний вида, а реакция системы на единичную ступенчатую функцию – в виде оригинала:(4.21). Подставив вместоW(jω) = U(ω) + +jY(ω), получим: , гдеU(ω) – вещественная ЧХ системы.

Т.о. в частотном методе анализа косвенной характеристикой качества является вещественная ЧХ САУ.

К устойчивым критериям САУ относится показатель колебательности, резонансная частота, перерегулирование.

Частотный метод оценки качества справедлив для линейно-фазовых систем – систем, у которых при одинаковой АЧХ фазовые ЧХ имеют минимальное значение по модулю. Колебательность и длительность переходного процесса можно приблизительно оценить по вещественной ЧХ (ВЧХ) замкнутой САУ.

Если ВЧХ имеет вид кривой 1, то переходная характеристика не имеет перерегулирования. Для кривой 2 при относительном максимуме характеристики величина перерегулированияσ ≤ 18%. Кривые 3 и 4 соответствуют колебательному переходному процессу и колебательность тем больше, чем больше величина относительного максимума.

Если U_max(ω) = 1,2 (кривая 3), то σ ≤ 50% (автопилот).

При (кривая4) перерегулирование возрастает ещё больше, σ ≤ 80%.

Кроме того, если ВЧХ имеет не только положительную, но и отрицательную часть (кривая4), то колебательность возрастает. Длительность переходного процесса можно примерно определить по величине частотного диапазона, при котором ВЧХ будет положительна (кривая 4), или пока она не станет меньше 0,2U(0) (кривые 1-3). Этот частотный диапазон ω₊ называется интервалом положительности и определяет длительность переходного процесса: (4.23).

Для ВЧХ, у которых U_max(ω) ≤ U(0) (кривые 1,2) K = 4. С возрастанием величины относительного максимума K увеличивается.

Рис.4.22. Приблизительные переходные характеристики, оцениваемые по ВЧХ замкнутой САУ

Рис. 4.23. Оценка качества регулирования по АЧХ САУ

Для оценки качества регулирования часто используется АЧХ САУ. По АЧХ замкнутой САУ можно определить колебательность системы по показателю колебательности M, численно равному отношению максимального значения АЧХ к его значению при ω=0: чем больше значение M, тем сильнее колебательность системы, и тем больше длительность колебательного процесса.

Качество переходного процесса считается удовлетворительным, если M[1,1;1,5]. При таком значении M переходная характеристика имеет слабую колебательность с частотой, близкой к резонансной ω_р, которая также является критерием качества. На этой частоте гармонические колебания проходят через систему с наибольшим усилением. Резонансная частота ω_р позволяет примерно определить время достижения первого максимума t_M, т.е. (4.24).

Длительность переходного процесса при предположении, что за это время в системе происходит 12 колебания, составляет (4.25).

В случае колебательной переходной характеристики резонансная частота ω_р замкнутой САУ близка к частоте среза ω_ср ЛЧХ замкнутой САУ, которая является также показателем качества.

Интервал частот, при котором выполняется условие A(ω) ≤ 0,707A(0) (4.26) называется полосой пропускания частот замкнутой САУ. Она связана с длительностью переходного процесса обратной зависимостью: чем шире полоса пропускания системы, тем меньше длительность переходного процесса. И наоборот: чем больше инерционность САУ, тем уже будет её полоса пропускания, и тем ближе она по своим свойствам к фильтру низких частот. Такая система является более точной, т.к. она хорошо пропускает информационные, как правило, низкочастотные, и задерживает высокочастотные помехи.

1. Частотный критерий качества переходного процесса.

При анализе качества переходного процесса частотным методом используется ЧХ замкнутой системы W(jω) = A(ω)e^jφω. Зная её, можно определить выходную величину ЧХ при подаче на вход гармонического воздействия и найти реакцию системы в переходном процессе на произведённое воздействие.

Представляя произведённое воздействие в виде бесконечной суммы гармонических колебаний, можно по ЧХ определить реакцию системы на каждое из этих элементарных колебаний, затем, просуммировав все реакции, найти результирующую.

Интеграл Фурье для единичной ступенчатой функции: (4.20), т.е. единичная ступенчатая функция может быть представлена как бесконечная сумма элементарных колебаний вида, а реакция системы на единичную ступенчатую функцию – в виде оригинала:(4.21). Подставив вместоW(jω) = U(ω) + +jY(ω), получим: , гдеU(ω) – вещественная ЧХ системы.

Т.о. в частотном методе анализа косвенной характеристикой качества является вещественная ЧХ САУ.

К устойчивым критериям САУ относится показатель колебательности, резонансная частота, перерегулирование.

Частотный метод оценки качества справедлив для линейно-фазовых систем – систем, у которых при одинаковой АЧХ фазовые ЧХ имеют минимальное значение по модулю. Колебательность и длительность переходного процесса можно приблизительно оценить по вещественной ЧХ (ВЧХ) замкнутой САУ.

Если ВЧХ имеет вид кривой 1, то переходная характеристика не имеет перерегулирования. Для кривой 2 при относительном максимуме характеристики величина перерегулированияσ ≤ 18%. Кривые 3 и 4 соответствуют колебательному переходному процессу и колебательность тем больше, чем больше величина относительного максимума.

Если U_max(ω) = 1,2 (кривая 3), то σ ≤ 50% (автопилот).

При (кривая4) перерегулирование возрастает ещё больше, σ ≤ 80%.

Кроме того, если ВЧХ имеет не только положительную, но и отрицательную часть (кривая4), то колебательность возрастает. Длительность переходного процесса можно примерно определить по величине частотного диапазона, при котором ВЧХ будет положительна (кривая 4), или пока она не станет меньше 0,2U(0) (кривые 1-3). Этот частотный диапазон ω₊ называется интервалом положительности и определяет длительность переходного процесса: (4.23).

Для ВЧХ, у которыхU_max(ω) ≤ U(0) (кривые 1,2) K = 4. С возрастанием величины относительного максимума K увеличивается.

Рис. 4.24. Приблизительные переходные характеристики, оцениваемые по ВЧХ замкнутой САУ

Рис. 4.25. Оценка качества регулирования по АЧХ САУ

Для оценки качества регулирования часто используется АЧХ САУ. По АЧХ замкнутой САУ можно определить колебательность системы по показателю колебательности M, численно равному отношению максимального значения АЧХ к его значению при ω=0: чем больше значение M, тем сильнее колебательность системы, и тем больше длительность колебательного процесса.

Качество переходного процесса считается удовлетворительным, если M[1,1;1,5]. При таком значении M переходная характеристика имеет слабую колебательность с частотой, близкой к резонансной ω_р, которая также является критерием качества. На этой частоте гармонические колебания проходят через систему с наибольшим усилением. Резонансная частота ω_р позволяет примерно определить время достижения первого максимума t_M, т.е. (4.24).

Длительность переходного процесса при предположении, что за это время в системе происходит 12 колебания, составляет (4.25).

В случае колебательной переходной характеристики резонансная частота ω_р замкнутой САУ близка к частоте среза ω_ср ЛЧХ замкнутой САУ, которая является также показателем качества.

Интервал частот, при котором выполняется условие A(ω) ≤ 0,707A(0) (4.26) называется полосой пропускания частот замкнутой САУ. Она связана с длительностью переходного процесса обратной зависимостью: чем шире полоса пропускания системы, тем меньше длительность переходного процесса. И наоборот: чем больше инерционность САУ, тем уже будет её полоса пропускания, и тем ближе она по своим свойствам к фильтру низких частот. Такая система является более точной, т.к. она хорошо пропускает информационные, как правило, низкочастотные, и задерживает высокочастотные помехи.

2. Годограф Михайлова и его характеристика.