- •Вопросы для самостоятельного изучения (по курсу «Дискретная математика», первый семестр)
- •1. Множества и операции над ними
- •1.1. Множества. Определения, примеры. Способы задания множеств
- •Способы задания множеств
- •I. Задание множества списком
- •II. Порождающая процедура
- •III. Задание множества описанием его элементов (разрешающая процедура)
- •1.2.Операции над множествами
- •2.Векторы и прямые произведения
- •2.1. Векторы
- •2.1.Проекции векторов и векторных множеств на оси
- •3. Элементы комбинаторики
- •3.1. Правило произведения
- •3.2. Размещения без повторений
- •3.3. Размещения с повторениями
- •3.4. Перестановки без повторений
- •3.5. Перестановки с повторениями
- •3.6. Сочетания без повторений
- •3.6. Правило суммы
- •4. Соответствия
- •4.1 Определения и примеры
- •4.2. Взаимно однозначные соответствия и мощность множеств
- •4.3. Счетные множества
- •О парадоксе Кантора
- •5. Отношения
- •5.1. Определения и примеры
- •5.2. Способы задания бинарных отношений
- •5.3. Свойства отношений
- •5.4. Отношение эквивалентности
- •Классы эквивалентности
- •5.5. Отношение порядка
- •6. Элементы общей алгебры
- •6.1. Алгебры
- •6.2. Свойства бинарных алгебраических операций
- •6.3.Гомоморфизм и изоморфизм алгебр
- •7. Булева алгебра и теория множеств
- •7.1. Основные определения
- •Литература
О парадоксе Кантора
В теории множеств (с помощью метода, аналогичного диагональному) показано, что для множества любой мощности множество его подмножеств имеет более высокую мощность.
Например: для множества мощности n = 2 M = {a, b}, множество его подмножеств B (М) = { {a}, {b}, {a, b}} имеет мощность, равную 4.
Для множества M = {a, b, c}, где ,B (M) = { {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. При этом B .
Поэтому не существует множества максимальной мощности.
Парадокс Кантора заключается в том, что “множество всех множеств” должно содержать все множества и иметь максимальную мощность, что противоречит результатам теории множеств.
5. Отношения
5.1. Определения и примеры
Определение. Подмножество называетсяn - местным отношением на множестве М.
Говорят, что находится в отношении R, если.Одноместное отношение – это просто подмножество М. Такие отношения называют признаками: элемент а - обладает признаком R, если и. Свойства одноместных отношений это свойства подмножеств М; поэтому для случая n=1 термин “отношение” употребляется редко. Примеромтрехместного (тернарного) отношения является множество троек нападающих в хоккейной команде. Любой из нападающих находится в этом отношении со всеми теми игроками, с которыми он играет в одной тройке (один нападающий может, вообще говоря, участвовать более, чем в одной тройке).
При n=2 – отношения называются двуместными или “бинарными”. Если a, b находятся в отношении R, это записывается aRb.
Пример
а) отношения, заданные на N:
1) отношение “” выполняется для пар (7, 9) и (7, 7), но не выполняется для пары (9, 7);
2) отношение “иметь общий делитель 1” выполняется для пар (6, 9), (4, 2), (4, 4), (2, 4), но не выполняется для пар (7, 9) и (9, 7);
3) отношение “быть делителем” (т. е. aRb означает: а - делитель b) выполняется для пар (2, 4), (4, 4), (3, 6), (2, 6), но не выполняется для пар (4, 2), (6, 3), (6, 2);
б) отношения, заданные на множестве точек действительной плоскости (на ):
1) отношение: “находится на одинаковом расстоянии от начала координат”, выполняется для пар (3, 4) и (так как расстояние от начала координат до точки а = (3, 4); –; а расстояние от начала координат до точки), но не выполняется для пар (3, 4) и (1, 6). Это отношение совпадает с отношением “находится на одной и той же окружности с центром в начале координат”;
2) отношение: “находится на разном расстоянии от начала координат” выполняется для тех и только тех точек (пар точек), для которых не выполняется предыдущее соотношение;
3) отношение: “быть симметричным относительно оси OX “ выполняется для всех пар точек и;
в) отношения, заданное на множестве людей:
“жить в одном городе”, “быть моложе”, “быть сыном”, “быть знакомым”.
Определение: Пусть дано отношение R на М. Для любого подмножества естественно определяется отношение, называемоесужением R на , которое получается из R удалением всех пар, содержащих элементы, не принадлежащие . Иначе говоря,. Строго говоря, R и- это разные отношения с разными областями определения.