5.5. Отношение порядка

Определение: Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично, транзитивно.

Определение: Отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично, транзитивно. Оба типа отношений называются отношениями порядка.

Определение: Элементы a, b сравнимы по отношению порядка R, если выполняется a R b или b R a.

Определение: Множество М, на котором задано отношение порядка, называется полностью упорядоченным, если любые два элемента М сравнимы.

Определение: Множество М, на котором задано отношение порядка, называется частично упорядоченным, если не любые два элемента М сравнимы.

Пример:

а) отношения “” и “” для чисел являются отношениями нестрогого порядка, “<” и “>” - отношениями строгого порядка. Оба отношения полностью упорядочивают множества N и R;

б) определим отношения “” и “” на:

, если

;

,если

и хотя бы для одной координаты (с номером i) выполнено .

Эти отношения определяют частичный порядок, так как, например:

и , но вектора– несравнимы;

в) на системе подмножеств множества М отношение “” задает нестрогий частичный порядок, а отношение “” - строгий частичный порядок.

Например, , но- несравнимы;

г) отношение подчиненности на предприятии задает строгий частичный порядок; порядок частичный так как несравнимы сотрудники разных отделов;

д) Лексико - графический порядок.

Пусть в списке букв конечного алфавита А порядок букв зафиксирован, т. е. всегда один и тот же, как, например, в русском и латинском алфавите. Тогда этот список определяет полное упорядочение букв, которое назовем отношением предшествования и обозначим: “” . (, еслипредшествуетв списке букв).

На основе отношения предшествования букв, строится отношение предшествования слов, определяемое следующим образом:

Пусть даны слова    и.

Тогда, тогда и только тогда, когда

1) , где(- слова возможно непустые,- буквы);

2) , где- непустое слово.

Это отношение задает полное упорядочение множества всех конечных слов в алфавите А, которое является лексикографическим упорядочением слов.

Пример:

а) упорядочение слов в словарях.

Например, лес лето:

= “лес”; “c” “т” и,”0”, поэтому “лес” в словарях - раньше “лето”;

лес лесть:

= “лес” и , где=“ть”.

б) если рассматривать числа в позиционных системах счисления (двоичной, десятичной) как слова в алфавите цифр, то их лексико - графическое упорядочение совпадает с обычным, если все сравнимые числа имеют одинаковое число разрядов.

6. Элементы общей алгебры

6.1. Алгебры

Определение:

n-арная операция на множестве М – это функция типа

,

где n-арность операции. Операция замкнута относительно множества М по определению, т. е. операция над элементами множества М, и результат тоже элемент М.

Определение: Алгеброй называется множество, вместе с заданной на нем совокупностью операций , т. е. система

.

Определение: М – основное (несущее) множество (носитель алгебры) алгебры А.

Определение: Тип алгебры – вектор арностей операций.

Определение: Сигнатура – совокупность операций .

Определение: Множество называетсязамкнутым относительно n-арной операции  на М, если

,

т. е. если значения  на аргументе из принадлежат.

Определение:Если замкнуто относительно всех операций, алгебры М, то система

называется подалгеброй алгебры А (при этом рассматриваются как операции на).

Примеры:

1. Определение: Алгебра - называетсяполем действительных чисел.

Обе операции бинарные, поэтому тип этой алгебры (2,2). Сигнатура .

Подалгеброй этой алгебры является, например, поле рациональных чисел.

2. Пусть . Определим наоперации:- «сложение по модулю р»,- «умножение по модулю р», следующим образом:

и , где с иd – остатки от деления на р чисел а + b и а  b соответственно.

Пусть, например, р = 7, тогда и

.

Часто обозначают: a + b = с (mod p)

a  b = d (mod p).

Определение: Конечным полем характеристики р называется алгебра , если р – простое число.

3. Пусть задано множество U.

Определение: Булеаном U называется множество всех подмножеств множества U (обозначается ).

Определение: Булева алгебра множеств над U – алгебра . Ее тип (2,2,1), сигнатура.

Элементами основного множества булевой алгебры являются множества (подмножества U).

Для любого - является подалгеброй В.

Например, если , то основное множество алгебры В содержит 16 элементов; алгебра- подалгебра В. Ее несущее множество содержит четыре элемента.

4. Множество F одноместных функций на R, т. е. функции вместе с операциейдифференцирования является алгеброй. Элементы несущего множества – функции типа , единственная операция этой алгебры дифференцирования – унарная операция типа(так как производной функцией наR снова является функция на R).

Множество элементарных функций замкнуто относительно дифференцирования, поскольку произведение элементарных функций элементарно, следовательно, образуют подалгебру данной алгебры.

5. Рассмотрим квадрат с вершинами в точках , пронумерованных против часовой стрелки, и повороты квадрата в том же направлении, переводящие вершины в вершины. Таких поворотов бесконечно много: на углы 0,,, , 2, , . . . , однако они задают всего 4 различных отображения множества вершин в себя, соответствующие первым четырем поворотам.

- поворот на углы 0, 2, 4,...

- поворот на углы

- поворот на углы 0, 3, 5,...

- поворот на углы

Таким образом, получаем алгебру с основным множеством и четырьмя унарными операциями(т. е. сигнатура алгебры, тип алгебры {1,1,1,1}. Их можно задать таблицей, в которой на пересечении строки номери столбцанаписано значение функции.

Определение: Тождественной операцией называется операция , отображающая любой элемент в себя. Тождественная операция соответствует нулевому повороту. Подалгебр в алгебре с одной операцией , нет.

6. Множество - отображение вершин в себя из предыдущего примера (5), вместе с бинарной операцией композиции “” отображений образует алгебру (L, ). Композиция отображений – это последовательное выполнение двух поворотов. Она задается таблицей. В таблице на пересечении строки и столбца  написан результат .

Таблица Кэли

Определение: Такая таблица, задающая бинарную операцию, называется таблицей Кэли. Множество , т. е. повороты на углы 0, образуют подалгебру алгебры .