1.2.Операции над множествами
Определение:
Объединением
множеств А
и
В
(обозначается
)
называется множество, состоящее из всех
тех элементов, которые принадлежат или
А,
или В или А и В одновременно, т. е. хотя
бы одному из
множеств А
и В.
Символическая запись
.
Определение объединения произвольного числа множеств аналогично.
Запись:
а) 
и т. д. используется если совокупность
содержит небольшое число множеств;
б) 
означает: объединение всех множеств А,
принадлежащих совокупности
S;
в) 
используется для случаев, когда
;
г) 
используется для случаев, когда
– бесконечная совокупность и ее множества
занумерованы подряд натуральными
числами;
д) 
- для случаев, когда набор индексов
множества задан множеством J.
Примеры:
1) 
.
2) 
(так как
).
3) Обозначим за
- множество всех натуральных чисел,
делящихся на k и не равных k. Р - множество
всех простых чисел
.
Тогда
- множество всех непростых (составных)
чисел.
Р = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, . . .
4,
6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, . . .
6,
9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, . . .
10,
15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, . . .
14,
21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, . . .
22,
33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 121, . . .
26,
39, 52, 65, . . .
- множество всех
составных чисел.
Определение:
Пересечением
множеств А
и В (обозначается
)
называется множество, состоящее из всех
тех и только них элементов, которыепринадлежат
А и В одновременно.
Символическая запись
.
Пересечение произвольной совокупности множеств (в том числе и бесконечной) - определяется аналогично.
Примеры:
1) 
.
2) 
.
3)
,
но
,
,
Как следствие этих определений мы имеем
,
,
и, что менее очевидно,
,
.
Последние тождества важны по двум причинам:
1) Из дальнейших
математических рассуждений будет видно,
что иногда следует сводить
к А (а также
к А) или, наоборот, расширять А до
(
);
2) Можно не обратить на них внимания из-за того, что, выраженные словами, эти тождества могут оказаться лишенными смысла даже тогда, когда они логически верны.
Замечание:
Определение объединения использует слово–включение “или”, называемое так потому, что оно включает “и”, так что
.
Элементы в пересечении множеств (в данном случае это единственное число 2) включаются в объединение. Это обычная математическая договоренность. Существует пример, в котором математическое значение является более точным, чем при общем употреблении.
Пример:
В предложении, что каждый день или дождливый, или ясный, математическим (или логическим) ответом на вопрос: “Ясно или дождливо сегодня?” будет “Да”.
Определение: Разбиением множества U называется система множеств, в которой все попарные пересечения пусты, а их объединение совпадает U.
Определение: Класс разбиения (блок разбиения) есть множество такой системы множеств.
О
пределение:
Разностью
множеств А и В
называется множество всех тех и только
тех элементов А,
которые не принадлежат В:
.
Разность - операция строго двухместная (т. е. определена для двух множеств) и некоммутативная.
.
Если
,
то
.
Пример:
1) 
.
2) 
.
Определение:
Симметрическая разность множеств А и В, т. е. А В определяется так
.
Это элементы, принадлежащие только А или только В.
Пример:
Пусть мы имеем 2 программы P и Q и что А - множество всех значений данных, доступных Р, В - множество значений данных, доступных Q, тогда
-
множество всех данных, доступных по
крайней мере или P или Q;
-
множество всех данных, доступных Р и Q;
- множество всех
данных, доступных Р, но недоступных Q;
- множество всех
данных, доступных Q, но недоступных Р;
-
множество всех данных, доступных только
одной из программ.
Определение:
Дополнением (до
U) множества А
называется множество всех элементов,
не принадлежащих
А (но
принадлежащих U):
.
Множество U должно быть задано либо очевидно.
Пример:
1) Из определения
очевидно, что
- множество всех натуральных чисел,
больших 100.
2) Запись
без контекста (т. е. без указания U)
неясна:
то ли это множество отрицательных чисел;
то ли это множество положительных дробных чисел;
то ли это пустое множество натуральных чисел.
Определение:
Операции
и дополнение называютсябулевыми
операциями над множествами.