2.Векторы и прямые произведения

2.1. Векторы

Определение: Вектор - это упорядоченный набор элементов (“кортеж” - размещение).

Определение: Координаты или компоненты вектора - это элементы, образующие вектор. Координаты нумеруются слева направо.

Определение: Длина (размерность) вектора - число координат вектора.

В отличие от элементов множества, его координаты могут совпадать. Обозначение вектора: в круглых скобках, координаты - через запятую (0, 5, 4, 5, 0, 1). Иногда скобки и даже запятые опускаются.

Определение: Векторы длины 2 называют упорядоченными парами;

длины 3 - тройками;

длины 4 - четверками;

длины n - n-ками.

Определение: Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину, и соответствующие их координаты равны, т. е.

,

если m = n и

.

Определение: Прямым произведением множеств А и В (обозначается АВ) называется множество всех пар (a, b) таких, что. В частности, если А = В, то обе координаты принадлежат А (обозначим).

Аналогично:

Определение: Прямое произведение n множеств () называется множеством всех векторов, длины n таких, что.

обозначается .

Примеры:

1) Множество - множество точек плоскости, т. е. множество всех пар вида (a, b), гдеи является координатами точек плоскости. Координатное представление точек плоскости предложил Декарт. Это исторически первый пример прямого произведения. Поэтому иногда прямое произведение называется декартовым.

2) 

.

Тогда - множество, содержащее обозначение всех 64-х клеток шахматной доски.

3) Рассмотрим множество всех числовых матриц 3 4, матриц вида:

,

где Принадлежит множеству R. Строки матрицы - элементы множества(векторы длины 4). Сама матрица рассматривается как упорядоченный набор элементов множества. Компоненты матрицы, заданной таким образом - строки, а не числа;. Содержательный смысл этого неравенства в следующем: в векторенет никакой информации о строении матрицы; тот же вектормог бы перечислять элементы матрицы 43 или 26, которые, как математические объекты, вовсе не совпадают с матрицей 43.

Итак, компонентами вектора могут быть также и векторы:

.

4) Пусть А - конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций и т. д.). Такие множества обычно называют алфавитом.

Определение: Слова длины n в алфавите А - это элементы множества .

Определение: Множество всех слов в алфавите А - это множество

Здесь слово определено как вектор. При написании слова не принято пользоваться разделителями: скобками, запятыми; они могут оказаться символами самого алфавита. Поэтому слово в алфавите обозначается как конечная последовательность символов из алфавита А.

Примеры:

1) Десятичное число – слово в алфавите {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

2) Текст, отпечатанный на машинке, – слово в алфавите, определяемом клавиатурой этой машинки.

Теорема (о мощности прямого произведения множеств).

Пусть - конечные множества и

.

Тогда мощность множества равна произведению мощностей множеств :

.

Доказательство:

Докажем методом математической индукции. Для n = 1. Теорема тривиально верна. Предположим, что она верна для n = k. Докажем, что она справедлива для n = k + 1.

По предположению

.

Возьмем любой вектор из и припишем справа элемент, так как, то это можно сделать способом. При этом мы получим различных векторов из лишь из одного вектораиз. Так как таких векторов вштук, то приписыванием к каждому из них справа всех по очереди элементов изполучимновых векторов из, причем все они различны и других векторов вне содержится. Поэтому для n = k + 1 теорема верна и верна для любых n.

Следствие: .

Эта теорема и ее следствие лежат в основе очень многих комбинаторных фактов.