5.2. Способы задания бинарных отношений

Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств (например, список пар, для которых данное отношение выполняется).

Отношения на конечном множестве обычно задаются списком или матрицей.

Определение: Матрица бинарного отношения, заданного на множестве - это квадратная матрица С порядка m, в которойопределяется так (i - номер строки, j - номер столбца):

Пример:

Для множества {1, 2, 3, 4, 5, 6} отношения “” , “иметь общий делитель, отличный от 1” и “отношение “делитель” имеют матрицы 1 , 2 и 3, соответственно.

Матрица 1 Матрица 2 Матрица 3

Определение: Для любого множества М отношение Е, заданное матрицей, в которой по главной диагонали стоят “1”, а остальные “0” - называется отношением равенства.

Поскольку отношения на М задаются подмножествами множества , для них можно определить те же операции, что и над множествами.

Например, отношение “находиться на разном расстоянии от начала координат” является дополнением отношения “находиться на одинаковом расстоянии от начала кординат”. Отношение “” является объединением отношений “<” и “=”.

Определим еще одну операцию над множествами.

Определение:

Отношение называется обратным к отношению R, если

.

Из определения следует, что .

Для отношения “” обратное к отношению “”.

5.3. Свойства отношений

Определение: Отношение R называется рефлексивным, если для любого . Главная диагональ матрицы такого отношения содержит только единицы.

Определение: Отношение R называется антирефлексивным, если ни для какого не выполняется a R a. Главная диагональ матрицы содержит только нули.

Например, отношения: “”, “иметь общий делитель” - рефлексивны, отношения: “<”, “быть сыном” – антирефлексивны. Отношение “быть симметричным относительноOX” не является ни рефлексивным, ни антирефлексивным. Точка плоскости симметрична сама по себе, если лежит на OX и несимметрична в противном случае.

Определение: отношение R называется симметричным, если для пары из a R b следует b R a (иначе говоря, для любой пары отношение R выполняется в обе стороны или не выполняется вообще).

Матрица симметричного отношения - симметрична относительно главной диагонали: для всех.

Определение: отношение R называется антисимметричным, если из того, что следует(т. е. ни для каких различных элементов множества М отношение R не выполняется).

Матрица антисимметричного отношения не имеет ни одного симметричного относительно главной диагонали единичного элемента.

Например, свойством симметричности обладает отношение “быть симметричным относительно ОХ”; антисимметричным является “”, так как еслии.

Замечание: R симметрично тогда и только тогда, когда .

Определение: отношение R называется транзитивным, если для любых a, b, c из множества М из того, что выполняется a R b и b R c следует, что a R c.

Например, отношения: “=“, “жить в одном городе” - транзитивны; отношения: “быть сыном”, “иметь общий делитель” - нетранзитивны. Нетранзитивно и отношение “пересекаться”.

Например, является фактом то, что и, но, тем не менее.

Определение: Для любого отношения R отношение, называемоетранзитивным замыканием R, определяется следующим образом:

, если в М существует цепочка из n элементов , в которой между соседними элементами выполнено отношение R:

.

Замечание:

Если R - транзитивно, то в определении транзитивного замыкания a R b, поэтому .

Например, транзитивным замыканием отношения “быть сыном” является отношение “быть прямым потомком”, являющееся объединением отношений “быть сыном”, “быть внуком”, “быть правнуком”, и т. п. Транзитивным замыканием отношения “иметь общую стену” для жильцов дома является отношение “жить на одном этаже”.