Способы задания множеств

I. Перечисление (список элементов).

II. Порождающая процедура.

III. Разрешающая процедура (описание характеристических свойств, которыми должны обладать элементы).

I. Задание множества списком

 Списком можно задать лишь множества, содержащие несколько элементов. Задание типа

N = 1, 2, 3 . . .

не список, а условное обозначение, допустимое, когда оно заведомо не вызывает разногласий.

Пример:

Определим А как множество все целых чисел х строго между 6 и 10. Это можно записать следующим образом:

и прочитать как : “А - множество, содержащее 7, 8, 9”.

Множества часто рассматриваются как “неупорядоченные совокупности элементов”, хотя иногда полезно подчеркнуть, что, например,

.

Мы не делаем никакой оговорки о порядке, в котором рассматриваются элементы, поэтому было бы неправильно допускать какой-либо определенный порядок.

Выясним далее, какие из приведенных определений верные:

.

Если число членов множества В легко вычисляется, и среди элементов множества нет повторений, то определение верно.

Множество С также выглядит правильным, за исключением лишь того, что число 6 повторяется дважды. Мы можем проверить, принадлежит ли элемент или нет. Таким образом, это наиболее важное требование в определении множества выполнено. Следовательно, мы можем рассматривать эту запись как верную и эквивалентную . Однако в этой ситуации возникают следующие проблемы. Если мы рассмотрим первоначальное определение С и выбросим одно из чисел 6 из множества, то мы, очевидно, будем иметь и. Возникает противоречие. Поэтому мы будем рассматривать повторение символов в определении множеств как упоминание одного и того же символа, а его дублирование как недосмотр.

Определение D также справедливо. Заметим, что это множество множеств, такое, что оно имеет только два элемента, в частности, , даже еслии. Это легко проверить, так каки только В и С являются элементами D.

II. Порождающая процедура

Описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо других объектов. Тогда элементы множества - все объекты, которые могут быть получены (построены) с помощью такой процедуры.

Примеры:

1) Описание множества (множество всех чисел вида), где исходные объекты для построения множества - натуральные числа, а порождающая процедура для вычисления описана формулой.

2) Множество

Порождающая процедура определяется двумя правилами:

а) ; б) если, то.

Правила, описанные таким образом, называются индуктивными или рекурсивными.

3) Множество , заданное следующим образом.

Пусть имеется процедура вычисления цифр разложения числа  в бесконечную десятичную дробь

 = 3,1415926536 . . .

По мере вычисления будем образовывать из последовательности цифр данной десятичной дроби трехзначные числа

314, 159, 265 и т. д.

Множество всех таких чисел образует множество .

4) Распространенная порождающая процедура - образование новых множеств из других множеств с помощью операций над множествами.

III. Задание множества описанием его элементов (разрешающая процедура)

Примеры:

- множество всех натуральных чисел (N).

- множество всех решений уравнения .

- множество всех действительных чисел.

- множество всех чисел , гдеможно интерпретировать как описание свойства его элементов, заключающегося в возможности представить их в виде.

- заданное как “множество всех целых чисел, являющихся степенью двойки”, . Такой способ задания множества применяется, когда свойство элементов М может быть описано коротким выражением. Например, P(x) читается: «х обладает свойством Р», то М задается при помощи обозначениячитается: «М - множество элементов х, обладающих свойством Р».

Пример:

1) .

2) .

Требования к описанию свойств - точность и недвусмысленность.

Пример:

Множество всех красивых первокурсниц математического факультета 2002 г. не строго определено, так как у разных людей – различные критерии отбора.

Надежный способ точно описать свойства элементов данного множества - задание распознающей (разрешающей) процедуры, которая для любого объекта устанавливает, обладает он свойством или нет (т. е. является элементом множества или нет).

Пример:

Для , то есть для свойства, быть степенью двойкиразрешающей процедурой является любой метод разложения целых чисел на простые множители. Здесь разрешающая процедура не является порождающей. Но ее нетрудно таковой сделать: например, порождающая процедура может быть таковой. Берем последовательно все натуральные числа и каждые из них разлагаем на простые множители: те числа, которые не содержат множителей, отличных от двойки, включаем в .

С другой стороны порождающая процедура может не быть разрешающей. Например, при получении действует порождающая процедура. Но с ее помощью нельзя определить, будет ли произвольное трехзначное число принадлежатьили нет, т. е. множествобесконечно, и если при построении n - чисел множества некоторое (проверяемое) число не встретилось, то еще нельзя утверждать, что оно не принадлежит.

Обобщение: Суть порождающей процедуры в том, что с ее помощью из уже полученных элементов множества или других объектов получают (или могут получить) все последующие элементы.

Суть разрешающей процедуры в том, что она разрешает (или не разрешает) предложенному для проверки объекту быть или не быть элементом данного множества в зависимости от его свойств.

Понятие “точно заданное множество” нуждается в уточнении. Одна из основных трудностей задания множества (даже из множеств, точность описания которых не вызывает сомнения) с помощью вполне, казалось бы, законных средств - в том, что можно сконструировать описание множеств, которые приводят к противоречиям - “парадоксам теории множеств”. Например, множество всех подмножеств по смыслу своего описания этого множества должно содержать все мыслимые множества. Но оно само содержится в множестве своих подмножеств в качестве элемента.

Перед дальнейшим изложением будет удобно определить два специальных множества.

Определение: Пустое множество (обозначается ) есть множество, обладающее свойством:

при любом х.

Другое множество, определение которого зависит от задачи, называют универсальным множеством.

Определение: Универсальное множество (обозначается U) есть множество всех рассматриваемых в данной задаче элементов.

Рассмотрим теперь множество. Оно имеет n элементов. Будем говорить, что мощность этого множества есть n.

Определение: Мощностью (длиной, размерностью) множества называется число элементов этого множества. Обозначим .

Далее любое множество В, которое имеет то же число элементов, что и А, имеет такую же мощность, и естественно, эти элементы не надо пересчитывать. Для небольших множеств достаточно легко пересчитать элементы, но для других множеств, например N, это может быть невозможно. Далее следует строгое, но неформальное определение количества элементов.

Определение: Говорят, что множество Х конечно, если или для некоторогосуществует множествотакое, что оно имеет то же самое число элементов, что и X. Еслии никакого n не может быть найдено, то Х называютбесконечным.