5.4. Отношение эквивалентности

Определение: Отношение R называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример:

а) Отношение равенства Е на любом множестве является отношением эквивалентности.

Равенство - это минимальное отношение эквивалентности в том смысле, что при удалении любой пары из Е (т. е. любой единицы на диагонали матрицы Е) оно перестает быть рефлексивным и, следовательно, уже не является эквивалентным;

б) утверждения вида или, состоящие из формул, соединенных знаком равенства, задают бинарное отношение на множестве формул, описывающих суперпозиции элементарных функций. Это отношение обычно называют отношением равносильности.

Определение: Формулы равносильны, если они задают одну и ту же функцию.

Равносильность хотя и обозначается знаком равенства: “=”, но по сути отличается от отношения равенства Е, так как оно может выполняться для различных формул (впрочем, можно считать, что знак равенства в таких соотношениях относится не к формулам, а к функциям, которые ими описываются). Отношение Е (равенства) для формул - это совпадение формул по написанию. Оно называется графическим равенством;

в) рассмотрим множество треугольников на плоскости, считая, что треугольник задан, если заданы координаты его вершин. Два треугольника называются конгруэнтными, если они при наложении совпадают, т. е. могут быть переведены друг в друга путем некоторого перемещения. Конгруэнтность является отношением эквивалентности на множестве треугольников;

г) отношение “иметь один и тот же остаток от деления на 7” является эквивалентностью на N. Это отношение выполняется для пар (11, 46), (14, 70) и не выполняется для пар (12, 13), (14, 71).

Классы эквивалентности

Пусть на множестве М задано отношение эквивалентности R. Осуществим построение классов эквивалентности, на которые разбивается множество М этим отношением.

Выберем элемент и образуем класс (подмножество М), состоящий изи всех элементов, эквивалентных; затем выберем элемент, и образуем класс, состоящий изи всех элементов, эквивалентныхи т. д. Получится система классов(возможно бесконечная) такая, что любой элемент из М входит хотя бы в один класс, т. е..

Эта система обладает свойствами:

1) она образует разбиение, т. е. классы попарно не пересекаются;

2) любые два элемента из одного класса эквивалентны;

3) любые два элемента из разных классов неэквивалентны.

Определение: Мощность системы классов эквивалентности называется индексом разбиения.

С другой стороны, любое разбиение М на классы определяет некоторое отношение эквивалентности, а именно: “входить в один и тот же класс данного разбиения”.

Пример:

а) все классы эквивалентности по отношению равенства Е состоят из одного элемента;

б) формулы, описывающие одну и ту же элементарную функцию, находятся в одном классе эквивалентности по отношению равносильности. В этом примере счетно само множество формул, множество классов эквивалентности (т. е. индекс разбиения) и любой класс эквивалентности тоже счетное множество;

в) разбиение множества треугольников по отношению конгруэнтности имеет континуальный индекс, любой класс также имеет мощность континуума;

г) разбиение N по отношению “иметь общий остаток от деления на 7” имеет конечный индекс 7 и состоит из 7 счетных классов.

0, 7, 14, 21, 28, . . . ; 1, 8, 15, 22, 29, . . . ; . . . ; 6, 13, 20, 27, . . .