3.2.2. Стоимость денег во времени

Ранее мы рассмотрели инвестиционный анализ как процесс сопоставления текущих долларовых отчислений и будущих поступлений. Эти подходы были одинаковыми для всех видов инвестиций, осуществляемых как частными лицами, так и предприятиями. Начнем с рассмотрения таких базисных принципов, как начисление сложных процентов и дисконтирование, которые могут использоваться для того, чтобы получить эквивалент денежной стоимости во времени. После этого обсудим некоторые ключевые показатели инвестиционного анализа, которые позволяют применять указанные принципы для экономического выбора среди инвестиционных предложений.

Начисление сложного процента, дисконтирование и эквивалентность

С точки зрения здравого смысла человек не может одинаково относиться к двум инвестиционным проектам, условия которых равны во всех аспектах, кроме различий во времени поступления будущих доходов. При прочих равных условиях инвестор предпочтет тот проект, который обеспечит более быстрое поступление доходов. Причина такого предпочтения связана с возможностью повторного инвестирования возмещаемых инвестору денежных средств в доходные источники — размещение на сберегательных счетах, приобретение государственных облигаций, предоставление денег в кредит и другие направления выгодного вложения средств. Напротив, вынужденное ожидание возвращения денег приносит инвестору потенциальные потери в форме упущенных выгод.

Таким образом, стоимость денег определяется временем их поступления или использования для инвестирования, что связано с возможностью получения дохода в течение определенного периода времени.

Пример 2

Предположим, что гражданин сегодня может положить 1000 $ на депозит под 5% годовых. Через год его сумма на сберегательном счете составит 1050 $. (Для простоты в примере игнорируется практика ежедневных и ежемесячных начислений сложных процентов, широко используемая банками и сберегательными институтами в условиях наличия ограничений на величину депозитных ставок и отсутствия таковых по отношению к периодичности начисления процентов). В случае, если по каким-либо причинам гражданин вынужден будет прождать 1 год и не положит в течение этого года деньги на депозит, то возможность заработать 50 $ для него будет упущена. Сумма денег в 1000 $, которой человек будет обладать через год, имеет меньшую стоимость, чем те же 1000 $ сегодня. Таким образом, сегодняшняя стоимость этих 1000 $ должна определяться с учетом потенциальной возможности получения на эту сумму 5% годовых.

Будущую стоимость (future value, или FV) сегодняшних 1000 $ при ставке 5% годовых составит 1050 $:

FV = 1000 $ + 0,05 · 1000 $; FV = 1000 $ · 1,05; FV = 1050 $.

Сколько же сегодня стоят 1000 $, которые гражданин получит через год? Их стоимость сегодня равна той сумме, которую гражданин сегодня должен положить в банк, чтобы через год получить ровно 1000 $. Искомую величину назовем текущей приведенной стоимостью (present value, или PV) и определим ее по формуле:

PV + 0,05 · PV = 1000 $; 1,05 · PV = 1000 $; PV = 1000 $ / 1,05; PV = 952,38 $

Как видно из приведенных выше простых уравнений, в обоих случаях расчет будущей стоимости и текущей приведенной стоимости денег при годовой ставке 5% основывался на простой зависимости между этими показателями, которую можно представить в виде следующей формулы:

FV = PV + PV · 0,05 = PV · (1 + 0,05).

В более общем виде концепция будущей стоимости выглядит следующим образом:

FV₁ = PV₀ + PV₀ · r = PV₀ · (1 + r) FV₂ = PV₁ + PV₁ · r = PV₁ · (1 + r) = PV₀ · (1 + r) · (1 + r) = PV₀ · (1 + r)² FV₃ = PV₂ + PV₂ · r = PV₂ · (1 + r) = PV₀ · (1 + r) · (1 + r) · (1 + r) = PV₀ · (1 + r)³ FV_n = PV₀ · (1 + r)ⁿ

где: PV₁,... FV_n — величина будущей стоимости на конец соответствующего года (периода); PV₀,... PV_n-1 — величина текущей приведенной стоимости на начало соответствующего года (периода); n — количество лет (периодов времени); r — ставка банковского процента; (1 + r) — коэффициент будущей стоимости.

Как видно, из указанной формулы для расчета будущей стоимости (FV) мы применяем сложный процент. Это означает, что процент, начисленный на первоначальную сумму, прибавляется к этой первоначальной сумме и на него также начисляется процент.

Пример 2 (продолжение). Предположим далее, что наш владелец 1000 $ предполагает инвестировать свои деньги на банковский депозит под 5% годовых, но не на 1 год, а на 5 лет. В этом случае будущая стоимость будет расти следующим образом:

1 год: 1000$ · (1 + 0,05) = 1050,00$ 2 год: 1000$ · (1 + 0,05² = 1102,50$ 3 год: 1000$ · (1 + 0,05)³ = 1157,62$ 4 год: 1000$ · (1 + 0,05)⁴ = 1215,51$ 5 год: 1000$ · (1 + 0,05)⁵ = 1276,28$

Таким образом, будущая стоимость 1000 $ через 5 лет при банковской ставке 5% годовых составит 1276,28 $.

Теперь попробуем решить обратную задачу. Какова текущая приведенная стоимость 1000 $, которые будут получены через 5 лет при ставке процента 5% годовых? (Такая задача имеет значение в том случае, когда инвестор, например, знает общую сумму дохода, которую принесет проект, и на основании этого пытается определить необходимый объем инвестиций сегодня с учетом наличия альтернативных вариантов инвестирования).

В общем виде для определения величины текущей приведенной стоимости проведем простые преобразования рассмотренной ранее формулы будущей стоимости:

FV_n = PV₀ · (1 + r)ⁿ PV₀ = FV_n / (1 + r)ⁿ = FV_n · 1 / (1 + r)ⁿ

Следовательно, текущая приведенная стоимость равна будущей стоимости, умноженной на коэффициент 1/(1 + r)ⁿ, называемый коэффициентом дисконтирования.

Пример 2 (продолжение). В нашем примере текущая приведенная стоимость (PV) 1000 $, которые будут получены через 5 лет при 5% годовых, составит:

PV = 1000 $ · 1 / (1 + 0,05) = 1000 $ / 127628 = 783,53$

Определяя величину текущей приведенной стоимости (PV) исходя из суммы будущей стоимости, мы проводим дисконтирование будущей стоимости.

Дисконтированием называется процесс приведения (корректировки) будущей стоимости денег к их текущей приведенной стоимости. Процесс, обратный дисконтированию, а именно, определения будущей стоимости, есть не что иное, как начисление сложных процентов на первоначально инвестированную стоимость.

С помощью основных математических правил мы можем получить эквивалентную стоимость любой суммы, полученной или вырученной в любой момент времени (либо в текущий момент времени, либо на специальную дату в будущем).

Процессы начисления сложных процентов и дисконтирования являются столь же древними, как и сам процесс кредитования, и используются финансовыми институтами с незапамятных времен.

Коэффициенты дисконтирования не требуется каждый раз считать отдельно, они приводятся в специальных таблицах текущей приведенной стоимости (если невозможно применение специального программируемого калькулятора).

В таблице 3.3 содержатся коэффициенты дисконтирования, используемые для приведения в эквивалент приведенной текущей стоимости одного доллара, который будет получен в конце какого-либо периода при различных ожидаемых инвестором нормам прибыли. Таблица включает значения периодов (n) от 1 до 60, а также ставки (i) от 1 до 50%. Ставки зависят от периодов; при использовании годовых периодов применяются годовые ставки процента, а если используется месячный период, то применяется месячная ставка процента.

Текущая приведенная стоимость (PV) в данном случае определяется следующим образом:

PV = коэффициент дисконтирования по таблице · Сумма FV

Заметим, что коэффициент дисконтирования в примере можно было найти в таблице 3.3 в пересечении колонки для ставки 5% и строк для 1–5 лет.

Таблица 3.4 является модификацией таблицы 3.3 и позволяет прямо рассчитать текущую приведенную стоимость повторяющихся из года в год совокупности поступлений в сумме один доллар. Такие периодические поступления или отчисления называются аннуитетами.

Пример 3. Известно, что от сдачи в аренду помещения арендодатель в течение 5 лет каждый год будет получать арендную плату в размере 1000$. Требуется определить текущую приведенную стоимость указанного потока денежных поступлений за 5 лет. (Это может требоваться, например, при определении экономической целесообразности сдачи в аренду указанного помещения путем сопоставления приведенной стоимости указанных поступлений арендной платы и величины средств, затраченных арендодателем для строительства и оборудования этого помещения).

Указанную задачу мы можем решить следующим образом:

1. При использовании таблицы 3.3:

1000$ через 1 год: 1000$ через 2 года: 1000$ через 3 года: 1000$ через 4 года: 1000$ через 5 лет: ИТОГО:

1000 · 0,909 = 9090 1000 · 0,826 = 8260 1000 · 0,721 = 7510 1000 · 0,683 = 6830 1000 · 0,621 = 6210 37900

При использовании таблицы 3.4:

PV = 1000 $ · 3,790 = 37 900 $

Таблицы 3.3 и 3.4 взаимосвязаны, поскольку коэффициент дисконтирования в таблице 3.4 может быть определен путем суммирования соответствующих коэффициентов по таблице 3.3 (3,790 = 0,909 + 0,826 + 0,751 + 0,683 + 0,621).

Указанные таблицы могут использоваться практически во всех инвестиционных проблемах, включая аренду, залоговые отношения, приобретение облигаций и многие другие.